1 . 如图，在平面直角坐标系中，已知点，圆：与轴的正半轴的交点是，过点的直线与圆交于不同的两点.

（1）若直线与轴交于，且，求直线的方程；
（2）设直线，的斜率分别是，，求的值；
（3）设的中点为，点，若，求的面积.

2 . 已知以为圆心的圆.
（1）若圆与圆交于两点，求的值；
（2）若直线和圆交于两点，若，求的值.

3 . 蝴蝶定理因其美妙的构图，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代数学名家蜂拥而证，正所谓花若芬芳蜂蝶自来.如图，已知圆的方程为，直线与圆交于，，直线与圆交于，.原点在圆内.

（1）求证：.
（2）设交轴于点，交轴于点.求证：.

4 . 在平面直角坐标系中，已知圆过坐标原点且圆心在曲线上.
（1）若圆分别与轴、轴交于点、（不同于原点），求证：的面积为定值；
（2）设直线与圆交于不同的两点、，且，求圆的方程；
（3）设直线与（2）中所求圆交于点、，为直线上的动点，直线、与圆的另一个交点分别为、，求证：直线过定点.

5 . 在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，点在直线上，直线上有且仅有一点满足：（、、两两互不相同），则点的横坐标的所有可能值之积为______.

6 . 已知曲线C上任意一点到的距离与到点的距离之比均为.
（1）求曲线C的方程；
（2）设点，过点P作两条相异直线分别与曲线C相交于E，F两点，且直线PE和直线PF的倾斜角互补，求线段EF长的最大值.

7 . 已知圆：，过圆外一点作该圆的一条切线，切点为，为坐标原点，且有.
（1）求点的轨迹方程；
（2）若轨迹方程与圆相交于，两点，为原点，且，求实数的值.

8 . 如图，圆与轴交于、两点，动直线（）与轴、轴分别交于点、，与圆交于、两点（点纵坐标大于点纵坐标）.

（1）若，点与点重合，求点的坐标；
（2）若，，求直线将圆分成的劣弧与优弧之比；
（3）若，设直线、的斜率分别为、，是否存在实数使得？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.

9 . 已知圆的圆心在原点，半径为，若圆与坐标轴的交点为顶点的四边形是一个面积为的正方形（记为）设点在轴的负半轴上，以点、和点 为顶点的三角形的面积为.
（1）求圆的半径及点的坐标；
（2）若过点的直线与圆相交于两点，当线段的中点落在正方形内（包括边界）时，求直线的斜率的取值范围.

10 . 已知圆心在轴上的圆与直线切于点、圆.
（1）求圆的标准方程；
（2）已知，圆于轴相交于两点（点在点的右侧）、过点任作一条倾斜角不为0的直线与圆相交于两点、问：是否存在实数，使得？若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由、