名校
解题方法
1 . 在棱长为1的正方体
中，
、
为线段
上的两个三等分点，动点
在
内，且
，则点的轨迹长度为（ ）
中，、为线段上的两个三等分点，动点在内，且，则点的轨迹长度为（ ）A． | B． | C． | D． |
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2023-12-27更新
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637次组卷
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4卷引用：河南省驻马店市环际大联考“逐梦计划”2023-2024学年高二上学期阶段考试（三）数学试题
名校
2 . 在长方体中，
为长方体表面上的动点，且
，则点
的轨迹的长度为（ ）
中，为长方体表面上的动点，且，则点的轨迹的长度为（ ）| A．2 | B． | C． | D． |
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名校
3 . 已知正方体的边长为4，点E是棱CD的中点，P为四边形
内（包括边界）的一动点，且满足
平面
，则点P的轨迹长为（ ）
的边长为4，点E是棱CD的中点，P为四边形内（包括边界）的一动点，且满足平面，则点P的轨迹长为（ ）A． | B．2 | C． | D．1 |
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2023-09-06更新
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471次组卷
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4卷引用：河南省平顶山市叶县高级中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题
河南省平顶山市叶县高级中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题湖南省名校联盟2023-2024学年高二上学期入学摸底考试数学试题（已下线）专题02 空间动点轨迹8种题型归类-【巅峰课堂】2023-2024学年高二数学上学期期中期末复习讲练测（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）专题3.5空间直线、平面的平行-重难点突破及混淆易错规避（人教A版2019必修第二册）
名校
解题方法
4 . 如图，已知正方体的棱长为1，点M为棱AB的中点，点P在侧面
及其边界上运动，则下列选项中不正确的是（ ）
的棱长为1，点M为棱AB的中点，点P在侧面及其边界上运动，则下列选项中不正确的是（ ）A．存在点P满足 |
B．存在点P满足 |
C．满足 的点P的轨迹长度为 |
D．满足 的点P的轨迹长度为 |
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2023-02-01更新
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817次组卷
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4卷引用：河南省许昌市禹州市高级中学2022-2023学年高二上学期12月期末数学试题
河南省许昌市禹州市高级中学2022-2023学年高二上学期12月期末数学试题（已下线）专题02 空间动点轨迹8种题型归类-【巅峰课堂】2023-2024学年高二数学上学期期中期末复习讲练测（人教A版2019选择性必修第一册）上海市杨浦高级中学2023届高三下学期开学考试数学试题上海市黄浦区格致中学2024届高三下学期开学考试数学试题
名校
5 . 已知正方体
棱长为2，为棱
的中点，
为底面
上的动点，则下列说法正确的有（ ）个
①存在点，使得
；
②存在唯一点，使得
；
③当
，此时点的轨迹长度为；
④当为底面的中心时，三棱锥
的外接球体积为
.
棱长为2，为棱的中点，为底面上的动点，则下列说法正确的有（ ）个 ①存在点
，使得；②存在唯一点
，使得；③当
，此时点的轨迹长度为；④当
为底面的中心时，三棱锥的外接球体积为.| A．1 | B．2 | C．3 | D．4 |
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名校
解题方法
6 . 在长方体中，
，
，点P是底面ABCD内的动点，且满足
，则线段
长度的最小值为（ ）
中，，，点P是底面ABCD内的动点，且满足，则线段长度的最小值为（ ）A． | B． | C． | D．3 |
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2022-07-04更新
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212次组卷
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2卷引用：河南省新乡市封丘县第一中学2021-2022学年高二下学期期末数学理科试题
名校
7 . 已知正方体的棱长为
，过顶点
的平面为
，点是平面内的动点，
，则点的轨迹长度等于（ ）
的棱长为，过顶点的平面为，点是平面内的动点，，则点的轨迹长度等于（ ）A． | B． | C． | D． |
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2022-07-02更新
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682次组卷
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3卷引用：河南省安阳市第一中学2022-2023学年高二上学期第一次阶段考试理科数学试题
名校
解题方法
8 . 在正方体中，是棱
的中点，是底面
内（包括边界）的一个动点，若
平面
，则异面直线
与
所成角的取值范围是（ ）
中，是棱的中点，是底面内（包括边界）的一个动点，若平面，则异面直线与所成角的取值范围是（ ）A． | B． | C． | D． |
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2022-10-08更新
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1353次组卷
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16卷引用：河南省郑州市第七中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题
河南省郑州市第七中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题（已下线）第1.5讲 用空间向量研究直线和平面的位置关系-2021-2022学年高二数学链接教材精准变式练（人教A版2019选择性必修第一册）广东省佛山市南海区超盈实验中学2021-2022学年高二上学期第二次大测数学试题江西省南昌市第十中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学（理）试题湖北省随州市曾都区第一中学2022-2023学年高二上学期期中模拟数学试题江苏省常州市横林高级中学2021—2022学年高二下学期5月阶段调研数学试题广东省东莞实验中学2022-2023学年高二上学期月考一数学试题（已下线）1.4 空间向量的应用(分层练习)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）广东省东莞市嘉荣外国语学校2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题（已下线）专题01 空间向量与立体几何（4）山东省滨州市2021届高三二模（5月）数学试题（已下线）考点突破11 空间向量与立体几何-备战2022年高考数学一轮复习培优提升精炼（新高考地区专用）（已下线）专题06 空间向量与立体几何（突破训练）-备战2022年高考数学二轮复习重难考点专项突破训练（全国通用）（已下线）专题39：平行垂直空间向量证法 -2023届高考数学一轮复习精讲精练（新高考专用）（已下线）专题8-2 立体几何中的角和距离问题（含探索性问题）-1（已下线）第七章 立体几何与空间向量 第六节 利用空间向量求空间角与距离 讲
名校
9 . 如图所示，圆柱
中，
是底面直径，点是
上一点，
，点
是母线
上一点，点
是上底面的一动点，
，
，
，则（ ）
中，是底面直径，点是上一点，，点是母线上一点，点是上底面的一动点，，，，则（ ）A．存在点，使得 |
B．存在唯一的点，使得 |
C．满足 的点的轨迹长度是 |
D．当时，三棱锥 外接球的表面积是 |
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2022-05-08更新
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591次组卷
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3卷引用：河南省洛阳市第一高级中学2022-2023学年高二上学期9月月考数学试题
名校
解题方法
10 . 如图所示，圆锥的轴截面
是以为直角顶点的等腰直角三角形，
，
为
中点．若底面所在平面上有一个动点，且始终保持
，过点
作
的垂线，垂足为．当点运动时，
①点在空间形成的轨迹为圆
②三棱锥
的体积最大值为
③
的最大值为2
④
与平面
所成角的正切值的最大值为
上述结论中正确的序号为（ ）．
是以为直角顶点的等腰直角三角形，，为中点．若底面所在平面上有一个动点，且始终保持，过点作的垂线，垂足为．当点运动时，①点
在空间形成的轨迹为圆②三棱锥
的体积最大值为③
的最大值为2④
与平面所成角的正切值的最大值为上述结论中正确的序号为（ ）．
| A．①② | B．②③ | C．①③④ | D．①②③ |
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2021-06-03更新
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1804次组卷
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6卷引用：河南省济源市第一中学2022-2023学年高二下学期开学实验班数学试题
河南省济源市第一中学2022-2023学年高二下学期开学实验班数学试题安徽师范大学附属中学2021届高三下学期5月最后一卷理科数学试题（已下线）热点08 立体几何-2022年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考专用）（已下线）专题23 立体几何中的压轴小题-1辽宁省本溪市高级中学2023-2024学年高三上学期高考适应性测试（一）数学试题（已下线）第二章 立体几何中的计算 专题一 空间角 微点4 直线与平面所成角（二）【基础版】
