1 . 如图，为坐标原点，双曲线和椭圆均过点，且以的两个顶点和的两个焦点为顶点的四边形面积为的正方形.

(1)求的方程；
(2)是否存在直线，使得与交于两点，与只有一个公共点，且?证明你的结论.

2 . 已知双曲线（，）的一个焦点，且经过点．
（1）求该双曲线的标准方程；
（2）若经过点的直线l与双曲线有且仅有一个公共点，求直线l的方程．

3 . 已知双曲线的焦距为，且过点.
（1）求证：双曲线C的标准方程为；
（2）过点，斜率为k的直线l与双曲线C相交于A、B两点，且，求的值.

4 . 已知，双曲线.
（1）若点在上，求的焦点坐标；
（2）若，直线与相交于A、B两点，且线段AB中点的横坐标为1，求实数k的值.

5 . 已知双曲线过点，且右焦点为.
（1）求双曲线的方程；
（2）过点的直线与双曲线的右支交于两点，交轴于点，若，，求证：为定值.
（3）在（2）的条件下，若点是点关于原点的对称点，求证：三角形的面积；

6 . 若原点和点分别是双曲线的中心和左焦点，点为双曲线右支上的任意一点，求的取值范围．

7 . 直线上的动点到点的距离是它到点的距离的3倍.
（1）求点的坐标；
（2）设双曲线的右焦点是，双曲线经过动点，且，求双曲线的方程；
（3）点关于直线的对称点为，试问能否找到一条斜率为（）的直线与（2）中的双曲线交于不同的两点、，且满足，若存在，求出斜率的取值范围，若不存在，请说明理由.

8 . 已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线与双曲线交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求实数的值；
(3)在(2)的条件下，若双曲线的右顶点为，求的面积.

9 . 已知中心为原点，焦点在坐标轴上的双曲线经过点，它的一条渐近线的方程为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过双曲线的点垂直于实轴的直线，在第一象限与双曲线相交点，为双曲线的另一个焦点，求的面积.

10 . 已知双曲线的两个焦点为点在双曲线C上.
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知Q(0,2)，P为双曲线C上的动点,点M满足求动点M的轨迹方程；
（3）过点Q(0,2)的直线与双曲线C相交于不同的两点E、F，若求直线的方程.