1 . 在平面直角坐标系中，点、分别为：的左、右焦点，双曲线的离心率为2，点在双曲线上.不在轴上的动点与动点关于原点对称，且四边形的周长为.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）在动点的轨迹上有两个不同的点、，线段的中点为，已知点在圆上，求的最大值，并判断此时的形状.

2 . 已知双曲线的中心在原点，左、右焦点、 在坐标轴上，渐近线为，且过点.
（1）求双曲线方程；
（2）若点在双曲线上，求证：；

3 . 已知双曲线C： (，)的离心率为．
（1）若双曲线C的焦距长为，求双曲线C的方程：
（2）若点为双曲线C上一点，求双曲线C的方程．

4 . 已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点．
（1）求双曲线的方程．
（2）若点在双曲线上，求证：点M在以为直径的圆上．

5 . 已知双曲线.
（1）求以C的焦点为顶点、以C的顶点为焦点的椭圆的标准方程；
（2）求与C有公共的焦点，且过点的双曲线的标准方程.

6 . （1）求焦点在x轴上，长轴长为6，焦距为4的椭圆标准方程；
（2）求与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线标准方程．

7 . （1）求与双曲线有相同的焦点且过点的双曲线标准方程；
（2）求焦点在直线上的抛物线的标准方程.

8 . 已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x²＋9y²＝36有相同的焦点．

(1)求双曲线的标准方程；

(2)若点M在双曲线上，F₁，F₂为左、右焦点，且|MF₁|＋|MF₂|＝6，试判别△MF₁F₂的形状．

9 . 已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线方程为，且过点．
（Ⅰ）求双曲线方程；
（Ⅱ）若点在此双曲线上，求．

10 . 已知双曲线，为坐标原点，离心率，点在双曲线上.

(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于、两点，且.求的最小值.