1 . 已知椭圆：（）的左、右顶点分别为，且，离心率为，为椭圆的右焦点，为坐标原点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过且斜率为1的直线交椭圆于、两点，求的面积；
(3)设是椭圆上不同于的一点，直线、与直线分别交于点、.证明：以线段为直径的圆过定点，并求出定点的坐标.

2 . 已知椭圆经过点，.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线交椭圆于，两点，是坐标原点，求的面积.

3 . 已知椭圆的长轴长与短轴长之比为2,、分别为其左、右焦点．请从下列两个条件中选择一个作为已知条件,完成下面的问题:
①过点且斜率为1的直线与椭圆E相切;
②过且垂直于x轴的直线与椭圆在第一象限交于点P,且的面积为．(只能从①②中选择一个作为已知)
(1)求椭圆E的方程;
(2)过点的直线l与椭圆E交于A,B两点,与直线交于H点,若,．证明:为定值．

4 . 已知椭圆以直线所过的定点为一个焦点，且短轴长为4．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆的长轴和短轴的长的倍，过点的直线与椭圆交于，两个不同的点，若，求的面积的最大值．

5 . 已知椭圆以直线所过的定点为一个焦点，且短轴长为4．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆交于，两个不同的点，求面积的最大值．

6 . 已知椭圆：的短轴长等于，右焦点距最远处的距离为3．
（1）求椭圆的方程；
（2）设为坐标原点，过的直线与交于、两点，若直线倾斜角为，求线段长度．

7 . 已知椭圆，过点作互相垂直的两条直线分别交椭圆于点（与不重合）.
（1）证明：直线过定点；
（2）若以点为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求四边形的面积.

8 . 已知点，是椭圆的左、右焦点，点是这个椭圆上位于轴上方的点，点是的外心，若存在实数，使得，则当的面积为8时，的最小值为__________．

9 . 已知中，角所对的边分别是，且点，动点满足（为常数且），动点的轨迹为曲线.
(1)试求曲线的方程；
(2)当时，过定点的直线与曲线交于两点，是曲线上不同于的动点，试求面积的最大值.