1 . 在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.
(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；
(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

2 . 如图，曲线由曲线和曲线组成，其中点为曲线所在圆锥曲线的焦点，点为曲线所在圆锥曲线的焦点；
（1）若，求曲线的方程；
（2）对于（1）中的曲线，若过点作直线平行于曲线的渐近线，交曲线于点A、B，求三角形的面积；
（3）如图，若直线（不一定过）平行于曲线的渐近线，交曲线于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线的另一条渐近线上．

3 . 已知椭圆的离心率为，且短轴长为2.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知分别为椭圆的左右顶点，,，且,直线与分别与椭圆交于两点，
（i）用表示点的纵坐标；
（ii）若面积是面积的5倍，求的值．

4 . 已知点和动点，以线段为直径的圆内切于圆.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）已知点，，经过点的直线与动点的轨迹交于，两点，求证：直线与直线的斜率之和为定值.

5 . 在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别是F₁，F₂，P为椭圆C上的一点，且PF₁⊥PF₂，则点P到x轴的距离为____．

6 . 设椭圆，直线与椭圆交于两点，当经过椭圆的一个焦点和一个顶点时，．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线的斜率成等差数列（是坐标原点），求面积的最大值．

7 . 在平面直角坐标系中，已知点，，动点不在轴上，直线、的斜率之积．
（Ⅰ）求动点的轨迹方程；
（Ⅱ）经过点的两直线与动点的轨迹分别相交于、两点．是否存在常数，使得任意满足的直线恒过线段的中点？请说明理由．

8 . 如图，已知椭圆：，双曲线：的离心率，若以的长轴为直径的圆与的一条渐近线交于两点，且与的渐近线的两交点将线段三等分，则__________．

9 . 已知椭圆C：（a>b>0）的上、下、左、右四个顶点分别为A，B，C，D，x轴正半轴上的点P满足|PA|=|PD|=2，|PC|=4．
（I）求椭圆C的标准方程以及点P的坐标；
（II）过点P作直线l交椭圆C于点M，N，是否存在这样的直线l使得△MNA和△MND的面积相等？若存在，请求出直线l的方程，若不存在，请说明理由；
（III）在（II）的条件下，求当直线l的倾斜角为钝角时△MND的面积．

10 . 已知椭圆的标准方程为，点．
（Ⅰ）经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于、两点，求．
（Ⅱ）问是否存在直线与椭圆交于两点、且，若存在，求出直线斜率的取值范围；若不存在说明理由．