2 . 某闯关游戏共设置4道题，参加比赛的选手从第1题开始答题，一旦答错则停止答题，否则继续，直到答完所有题目．设选手甲答对第1题的概率为，甲答对题序为的题目的概率，，各题回答正确与否相互之间没有影响．
(1)若甲已经答对了前3题，求甲答对第4题的概率；
(2)求甲停止答题时答对题目数量的分布列与数学期望．

3 . 某公司为了推广旗下的某款，在2024年春节来临之前，推出了集“福卡”得奖励的活动，其中“福卡”有5种，分别是“福到”“财到”“喜到”“缘到”“运到”．规则如下：①通过登录这款或推荐新用户下载并使用这款可获得若干抽奖次数；②每次抽奖可获得一张“福卡”；③5种“福卡”是系统随机分配的；④用户集齐5种“福卡”后，便可获得提供的奖励；⑤集齐5种“福卡”后，用户不再抽奖，活动结束；⑥用完所有抽奖机会，活动结束．现在甲参加了集“福卡”得奖励的活动．
(1)已知甲已经集了其中的2种“福卡”，还有3次抽奖机会，求甲获得奖励的概率；
(2)已知甲已经集了其中的3种“福卡”，还有4次抽奖机会，记活动结束时，甲使用的抽奖次数为，求的分布列和数学期望．

4 . 新冠疫情下，为了应对新冠病毒极强的传染性，每个人出门做好口罩防护工作刻不容缓．某口罩加工厂加工口罩由三道工序组成，每道工序之间相互独立，且每道工序加工质量分为高和低两种层次级别，三道工序加工的质量层次决定口罩的过滤等级；工序加工质量层次均为高时，口罩过滤等级为100等级(表示最低过滤效率为99.97%)；工序的加工质量层次为高，工序至少有一个质量层次为低时，口罩过滤等级为99等级(表示最低过滤效率为99%)；其余均为95级(表示最低过滤效率为95%)．
表①:表示三道工序加工质量层次为高的概率；表②:表示加工一个口罩的利润．
表①                                                     

工序
概率

表②

口罩等级	100等级	99等级	95等级
利润/元

(1)表示一个口罩的利润，求的分布列和数学期望；
(2)由于工厂中工序加工质量层次为高的概率较低，工厂计划通过增加检测环节对工序进行升级．在升级过程中，每个口罩检测成本增加了()元时，相应的工序加工层次为高的概率在原来的基础上增加了;试问：若工厂升级方案后对一个口罩利润的期望有所提高，则与应该满足怎样的关系?

5 . 十一黄金周“渝”见最热假期，某机构为调研来渝消费热情，随机对100名游客进行了调查，得出来渝总消费的频率分布直方图如图.
   
(1)在区间，，中用分层抽样的方法抽取9人，则各抽取几人？
(2)用样本估计总体，从全市游客中随机取3人，设落在区间的人数为，求的分布列和数学期望.

8 . 为了促进消费，某商场针对会员客户推出会员积分兑换商品活动：每位会员客户可在价值80元，90元，100元的，，三种商品中选择一种使用积分进行兑换，每10积分可兑换1元.已知参加活动的甲、乙两位客户各有1000积分，且甲兑换，，三种商品的概率分别为，，，乙兑换，，三种商品的概率分别为，，，且他们兑换何种商品相互独立.
(1)求甲、乙两人兑换同一种商品的概率；
(2)记为两人兑换商品后的积分总余额，求的分布列与期望