1 . 已知复数是方程的一个虚根（是虚数单位，）．
(1)求；
(2)复数，若为纯虚数，求实数的值．

2 . 若复数是纯虚数，则实数___________．

3 . 已知i是虚数单位，a，，设复数，，，且.
(1)若为纯虚数，求；
(2)若复数，在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面的坐标原点.
①是否存在实数a，b，使向量逆时针旋转后与向量重合，如果存在，求实数a，b的值；如果不存在，请说明理由；
②若O，A，B三点不共线，记的面积为，求及其最大值.

4 . 若是纯虚数（其中是虚数单位），则正整数的最小值为________.

5 . 已知复数，（，为虚数单位）．
(1)若为实数，求；
(2)设、在复平面上所对应的点为、，为原点，若，求．

6 . 欧拉公式将自然对数的底数，虚数单位，三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”，已知复数满足，.
(1)求，；
(2)若复数是纯虚数，求的值.

7 . 已知复数（为虚数单位），若，则实数的值为______.

8 . 已知复平面上有点、，向量与向量对应的复数分别为和.
(1)求点的坐标；
(2)设点对应的复数为，复数满足，，且为纯虚数，求复数.

9 . （1）已知复数的实部与虚部互为相反数，求；
（2）已知复数满足，求证：是实数.

10 . 若复数，复数满足，且是纯虚数，求复数_________.