【推荐1】已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上有一点，过点的直线与椭圆交于，两点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求的面积的最大值；
(3)已知直线与直线交于点，记，，的斜率分别为，，，证明：为定值．

【推荐2】已知椭圆：，左焦点是.
（1）若左焦点与椭圆的短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆上.求椭圆的方程；
（2）过原点且斜率为的直线与（1）中的椭圆交于不同的两点，设，求四边形的面积取得最大值时直线的方程；
（3）过左焦点的直线交椭圆于两点，直线交直线于点，其中是常数，设，，计算的值（用的代数式表示）.

【推荐3】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，为椭圆短轴的一个端点，为椭圆的右焦点，线段的延长线与椭圆相交于点，且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点，若直线与的斜率之积为，求的取值范围.

【推荐1】已知椭圆的离心率，短轴长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点且斜率不为的动直线与椭圆交于、两点，点是直线上一定点，设直线、的斜率分别为、，若为定值，求点的坐标.

【推荐2】已知椭圆：的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为2.
（1）试求椭圆的方程；
（2）设圆：是椭圆长轴和短轴四个端点连接而成的四边形的内切圆，过圆上的任一点作圆的切线交椭圆于，两点，求证：.

【推荐3】已知椭圆的左顶点为，离心率为，点在椭圆上.
（1)求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于，两点，直线，分别与轴交于点，，求证：在轴上存在点，使得无论非零实数怎样变化，总有为直角，并求出点的坐标.

【推荐1】已知椭圆：经过点，左右焦点分别为、，圆与直线相交所得弦长为2．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设是椭圆上不在轴上的一个动点，为坐标原点，过点作的平行线交椭圆于、两个不同的点，求的取值范围．

【推荐2】已知椭圆的左、右顶点为，离心率为，直线与椭圆交于不同的两点，直线分别与直线交于点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求证：以为直径的圆恒过定点．

【推荐3】已知椭圆过点，且椭圆的离心率为 .
(1)求椭圆的方程；
(2)若动点在直线上，过作直线交椭圆于两点，且为线段的中点，再过作直线，证明：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标.