【推荐1】已知椭圆：，其离心率为，若，分别为的左、右焦点，轴上方一点在椭圆上，且满足，．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于另一点，点与点关于轴对称，直线交轴于点，若的面积是的面积的2倍，求直线的方程．

【推荐2】已知A′，A分别是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右顶点，B，F分别是C的上顶点和左焦点．点P在C上，满足PF⊥A′A，AB∥OP，|FA′|＝2．
(1)求C的方程；
(2)过点F作直线l（与x轴不重合）交C于M，N两点，设直线AM，AN的斜率分别为k₁，k₂，求证：k₁k₂为定值．

【推荐3】已知焦点在x轴上的椭圆E经过点，且焦距为.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）直线与椭圆E交于不同的两点A、B，线段AB的垂直平分线交y轴于点M，若，求m的值.

【推荐1】如图所示的“8”字形曲线是由两个关于轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形，其中上半个圆所在圆方程是，双曲线的左、右顶点、是该圆与轴的交点，双曲线与半圆相交于与轴平行的直径的两端点．

（1）试求双曲线的标准方程；
（2）记双曲线的左、右焦点为、，试在“8”字形曲线上求点，使得是直角．

【推荐2】已知双曲线，抛物线的焦点F是双曲线M的右顶点，且以F为圆心，以b为半径的圆与直线相切．
(1)求双曲线M的标准方程；
(2)已知直线与双曲线M交于A、B两点，且双曲线M是否存在上存在点P满足，若存在，求出m的值，若不存在请说明理由．

【推荐1】椭圆 的两顶点为如图，离心率为，过其焦点的直线与椭圆交于两点，并与轴交于点，直线与直线交于点.

（Ⅰ）当时，求直线的方程；
（Ⅱ）当点异于两点时，求证： 为定值.

【推荐2】已知圆，圆，圆与动圆内切，并且动圆与圆也内切，圆心的轨迹为曲线，设过点的直线交曲线于、两点.
（1）求的方程；
（2）若，求直线的方程.

【推荐1】已知双曲线的中心在坐标原点，左焦点与右焦点都在轴上，离心率为，过点的动直线与双曲线交于点、．设．

(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)若点、都在双曲线的右支上，求的最大值以及取最大值时的正切值；关于求的最值．某学习小组提出了如下的思路可供参考：
①利用基本不等式求最值；
②设为，建立相应数量关系并利用它求最值；
③设直线l的斜率为k，建立相应数量关系并利用它求最值）.

【推荐2】如图，已知、为双曲线的焦点，过作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且．求：

（1）双曲线的离心率：
（2）双曲线的渐近线方程．

【推荐3】已知双曲线上任意一点（异于顶点）与双曲线两顶点连线的斜率之积为.
（I）求双曲线渐近线的方程；
（Ⅱ）过椭圆上任意一点P（P不在C的渐近线上）分别作平行于双曲线两条渐近线的直线，交两渐近线于两点，且，是否存在使得该椭圆的离心率为，若存在，求出椭圆方程：若不存在，说明理由.