【推荐1】已知椭圆的离心率为，，是椭圆的两个焦点，是椭圆上任意一点，且的周长是．
(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在斜率为1的直线与椭圆交于，两点，使得以为直径圆过原点，若存在写出直线方程；
(3)设圆，过椭圆的上顶点作圆的两条切线交椭圆于、两点，当圆心在轴上移动且时，求的斜率的取值范围．

【推荐2】已知椭圆：，过点和点.
(1)求的方程；
(2)若圆的切线与交于点，，证明：.

【推荐3】已知离心率为的椭圆C₁：(a>b>0)的左，右焦点分别为F₁，F₂，P为椭圆上的一点，△PF₁F₂的周长为6，且F₁为抛物线C₂：的焦点.
(1)求椭圆C₁与抛物线C₂的方程；
(2)过椭圆C₁的左顶点Q的直线l交抛物线C₂于A，B两点，点O为原点，射线OA，OB分别交椭圆于C，D两点，△OCD的面积为S₁，△OAB的面积为S_2.则是否存在直线l使得？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.

【推荐1】已知曲线和都过点，且曲线的离心率为.

（1）求曲线和曲线的方程；
（2）设点，分别在曲线，上，，的斜率分别为，，当时，问直线是否过定点?若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

【推荐2】定义椭圆C：上的点的“圆化点”为．已知椭圆C的离心率为，“圆化点”D在圆上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的左顶点为A，不过点A的直线l交椭圆C于M，N两点，点M，N的“圆化点”分别为点P，Q．记直线l，AP，AQ的斜率分别为k，，，若，则直线l是否过定点？若直线l过定点，求定点的坐标；若直线l不过定点，说明理由．

【推荐3】已知椭圆：（）过点，离心率，直线：与椭圆交于，两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在定点，使得为定值.若存在，求出点的坐标和的值；若不存在，请说明理由.

【推荐1】已知椭圆的离心率，点为椭圆上一点，，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点．问：在轴上是否存在定点，使得以为直径的圆恒过定点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

【推荐2】已知椭圆的短轴长为2，点在椭圆上，与两焦点围成的三角形面积的最大值为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)当为椭圆的右顶点时，直线与椭圆相交于两点（异于点），且.试判断直线是否过定点？如果过定点，求出该定点的坐标；如果不过定点，请说明理由.

【推荐3】已知，为椭圆的左、右焦点，且点在椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线交椭圆于、两点，问△的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求其最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．