【推荐1】已知椭圆离心率等于，、是椭圆上的两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)，是椭圆上位于直线两侧的动点，若直线的斜率为，求四边形面积的最大值.

【推荐2】如图，，是椭圆的左右顶点，是椭圆上异于的任意一点，若椭圆的离心率为，且右准线的方程为.

（1）求椭圆的方程；
（2）设直线交于点，以为直径的圆交直线于点，试证明：直线与轴的交点为定点，并求出点的坐标．

【推荐3】已知椭圆的左､右焦点分别是，其离心率，点是椭圆C上一点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设是椭圆C上的一动点，由原点O向引两条切线，分别交椭圆C于点，若直线的斜率均存在，并分别记为，求证：为定值.

【推荐1】设椭圆的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上.若（为原点），且，求直线的斜率.

【推荐2】已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）若椭圆的焦点在轴上，点为坐标原点，射线、分别与椭圆交于点、点，且，试判断直线与圆：的位置关系，并证明你的结论.

【推荐3】已知点，，动点满足直线与的斜率之积为−．记M的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程
（2）过点作斜率不为0的直线与曲线交于两点．
①求证：；
②求的最大值．

【推荐1】已知椭圆的左、右焦点分别为、，设是第一象限内椭圆上一点，、的延长线分别交椭圆于点、，直线与交于点.

(1)当垂直于轴时，求直线的方程；
(2)若关于原点的对称点为，点在线段上，且满足，求面积的取值范围.

【推荐2】已知椭圆的一个焦点为，且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于两点，求面积的最大值及此时直线的方程.

【推荐3】设P为椭圆上任一点，为椭圆的焦点，，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点．求的面积S的最大值．

【推荐1】已知椭圆C的一个顶点为，焦点在x轴上，若右焦点到直线的距离为3．
Ⅰ求椭圆C的方程；
Ⅱ设椭圆C与直线相交于不同的两点M，N，线段MN的中点为E．
当时，射线OE交直线于点为坐标原点，求的最小值；
当，且时，求m的取值范围．

【推荐2】学校拟对介于两幢教学楼之间的东西方向长，南北方向宽40米的矩形区域进行规划，设计方案如下；首先挖一个与矩形区域边界均相切的椭圆形人工湖，如图所示，记湖面中心为O，在湖面中间南北轴线上建一个长廊AD，然后在长廊AD的东侧沿线段OB，OC，BC建一个环湖观景长廊，并在两处各建一座微型假山，且满足在长廊AD的西侧湖面中的点P处建一个湖心亭，在湖面上建一座由直线段组成的游览观景长桥，其中R是观景长桥在湖边的一个出入口，于点，且满足(湖心亭与微型假山的大小，观景长廊以及观景长桥的宽度均忽略不计)

（1）求环湖观景长廊所围城的湖面面积的最小值；
（2）若要使得游览观景长桥最长，试确定湖心亭的位置.

【推荐3】生活中，椭圆有很多光学性质，如从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点现椭圆C的焦点在x轴上，中心在坐标原点，从左焦点射出的光线经过椭圆镜面反射到右焦点，这束光线的总长度为4，且椭圆的离心率为，左顶点和上顶点分别为A、B．
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P在椭圆上，求线段的长度的最大值及取最大值时点P的坐标；
(3)不过点A的直线l交椭圆C于M，N两点，记直线l，的斜率分别为，若，证明：直线l过定点，并求出定点的坐标．