【推荐1】设圆的圆心为，直线过点，是圆上的任意一点，线段的垂直平分线与交于点.
（1）求出点的轨迹方程；
（2）设点的轨迹为曲线，直线交于，两点，过且与垂直的直线与圆交于，两点，求四边形面积的取值范围.

【推荐2】已知椭圆的离心率为，过其右焦点F且与x轴垂直的直线交椭圆C于P，Q两点，椭圆C的右顶点为R，且满足.

(1)求椭圆C的方程；
(2)若斜率为k(其中)的直线l过点F，且与椭圆交于点A，B，弦AB的中点为M，直线OM与椭圆交于点C，D，求四边形ACBD面积的取值范围.

【推荐3】如图“月亮图”是由曲线与构成，曲线是以原点为中点，为焦点的椭圆的一部分，曲线是以为顶点，为焦点的抛物线的一部分，是两条曲线的一个交点.

(1)求曲线和的方程；
(2)过作一条与轴不垂直的直线，分别与曲线依次交于四点，若为的中点，为的中点，问：是否为定值？若是求出该定值；若不是说明理由.

【推荐1】在直角坐标系上取两个定点，再取两个动点，且．
（1）求直线与交点的轨迹M的方程；
（2）已知点是轨迹M上的定点，E，F是轨迹M上的两个动点，如果直线AE的斜率与直线AF的斜率满足，试探究直线EF的斜率是否是定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由．

【推荐2】已知点P是椭圆E:+y²=1上的任意一点,F₁,F₂是它的两个焦点,O为坐标原点,动点Q满足.
(1)求动点Q的轨迹方程;
(2)若已知点A(0,-2),过点A作直线l与椭圆E相交于B,C两点,求△OBC面积的最大值.

【推荐2】已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，过左焦点且垂直于轴的直线交椭圆于两点，且.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）若圆上一点处的切线交椭圆于两不同点，求弦长的最大值.

【推荐3】已知椭圆C：过点，左右焦点为，且椭圆C关于直线对称的图形过坐标原点．

(1)求椭圆C方程；
(2)圆D：与椭圆C交于A，B两点，R为线段AB上任一点，直线F₁R交椭圆C于P，Q两点，若AB为圆D的直径，且直线F₁R的斜率大于1，求的取值范围.

【推荐1】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：(a＞b＞0)的离心率为，且椭圆E的短轴的端点到焦点的距离等于2．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）已知A，B分别为椭圆E的左、右顶点，过x轴上一点P（异于原点）作斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆E相交于C，D两点，且直线AC与BD相交于点Q．①若k＝1，求线段CD中点横坐标的取值范围；②判断是否为定值，并说明理由．

【推荐2】已知动圆与圆：和圆：都内切，记动圆圆心的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为，则曲线上一点处的切线方程为：.试运用该性质解决以下问题：点为直线上一点（不在轴上），过点作的两条切线，，切点分别为，.
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）点关于轴的对称点为，直线交轴于点，直线交曲线于，两点.记，的面积分别为，，求的取值范围.

【推荐3】已知椭圆的离心率为，，为的左、右焦点.动点在直线上，过作两条切线，切点分别为，，且.

（1）求椭圆的方程；
（2）如图，过，分别向，作垂线，垂足分别为，，，.
（i）证明：为定值；
（ii）记和的面积分别为，，求的取值范围.