【推荐1】如图所示，已知点是圆心为半径为1的半圆弧上从点数起的第一个三等分点，是直径，，直线平面.

（1）证明：；
（2）在上是否存在一点，使得平面，若存在，请确定点的位置，并证明之；若不存在，请说明理由；
（3）求点到平面的距离.

【推荐2】如图，在四棱锥中，，底面四边形为直角梯形，为线段上一点．

(1)若，则在线段上是否存在点，使得平面?若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由．
(2)已知，若异面直线与成角，二面角的余弦值为，求的长．

【推荐3】如图1所示，在等腰梯形中，，，，，、分别为腰、的中点，将四边形沿折起，使平面平面，如图2，、分别为线段、的中点.

（1）求证：平面.
（2）若为线段的中点，在直线上是否存在点，使得平面？若存在，求出线段的长度，若不存在，请说明理由.

【推荐1】已知三棱柱中，平面平面，，，，是的中点.

（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成线面角的正弦值.

【推荐2】如图，在三棱柱中，底面是边长为1的正三角形，是的中点.

(1)若二面角的平面角的余弦值为.
（i）求侧面的面积；
（ii）求与平面所成角的正弦值.
(2)直线与平面能否垂直？给出结论，并给予证明.

【推荐3】如图，在直四棱柱中，底面是边长为的菱形，，，，分别是线段，上的动点，且.

(1)若二面角为，求的长；
(2)当三棱锥的体积为时，求与平面所成角的正弦值的取值范围.

【推荐1】如图，在四面体中，是边长为2的等边三角形，为直角三角形，其中D为直角顶点，．E、F，G、H分别是线段、、、上的动点，且四边形为平行四边形．
   
(1)当二面角从增加到的过程中，求线段在平面上的投影所扫过的平面区域的面积；
(2)设，，且是以为底的等腰三角形，当为何值时，多面体的体积恰好为．

【推荐2】如图，在正四棱锥P－ABCD中，AB＝2，侧面PAD与底面ABCD的夹角为.

(1)求正四棱锥P－ABCD的体积；
(2)若点M是正四棱锥P－ABCD内任意一点，点M到平面ABCD，平面PAB，平面PBC，平面PCD，平面PDA的距离分别为，，，，，证明：；
(3)若球O是正四棱锥P－ABCD的内切球，点Q是正方形ABCD内一动点，且OQ＝OP，当点Q沿着它所在的轨迹运动一周时，求线段OQ所形成的曲面与底面ABCD所围成的几何体的表面积.

【推荐3】四棱锥中，四边形是矩形，平面平面，四棱锥的体积为，的面积为，平面平面，，，是上的两个动点.

(1)求到平面的距离；
(2)当二面角的平面角大小等于时，求的最小值.