【推荐1】如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．

(1)求证：AE⊥平面PCD；
(2)求PB和平面PAD所成的角的大小；
(3)求二面角A－PD－C的正弦值．

【推荐2】如图，正方形的边长为2，点，分别为，的中点，将，分别沿，折起，使，两点重合于点，连接.

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求与平面所成角的余弦值.

【推荐3】把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”．如图，椭圆柱中底面长轴，短轴长为下底面椭圆的左右焦点，为上底面椭圆的右焦点，为上的动点，为上的动点，为过点的下底面的一条动弦（不与重合）．

(1)求证：当为的中点时，平面
(2)若点是下底面椭圆上的动点，是点在上底面的投影，且与下底面所成的角分别为，试求出的取值范围．
(3)求三棱锥的体积的最大值．

【推荐1】已知四棱柱中，平面，在底面四边形中，，点是的中点.

   

(1)若平面平面，求三棱锥的体积；
(2)设且，若直线与平面所成角等于，求的值.

【推荐2】在所有棱长都相等的三棱柱中，.

（1）证明：；
（2）若二面角的大小为，求与平面所成角的正弦值.

【推荐3】如图所示，多面体ABCDEF中，，平面ADEF⊥平面BCEF，AD⊥EC，且，，．

(1)证明：FB⊥DE；
(2)若，求直线DC与平面ABF所成角的正弦值．

【推荐1】对于各项均为正数的无穷数列，记，给出下列定义：
①若存在实数，使成立，则称数列为“有上界数列”；
②若数列为有上界数列，且存在，使成立，则称数列为“有最大值数列”；
③若，则称数列为“比减小数列”．
（1）根据上述定义，判断数列是何种数列？
（2）若数列中，，，求证：数列既是有上界数列又是比减小数列；
（3）若数列是单调递增数列，且是有上界数列，但不是有最大值数列，求证：，．

【推荐2】在中，角的对边分别为.
（1）求证：中至少有一个角大于或等于；
（2）若角成等差数列，证明.

【推荐1】如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，，，，点分别在线段和上，且．
   
（1）求证：平面；
（2）设二面角大小为，若，求直线和平面所成角的正弦值．

【推荐2】如图，在长方体中，，点E在棱上运动．

(1)证明：；
(2)当E为棱的中点时，求直线与平面所成角的正弦值；
(3)等于何值时，二面角的大小为？

【推荐3】如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，.

(1)为上一点，且，当平面时，求实数的值；
(2)当平面与平面所成的锐二面角的大小为时，求与平面所成角的正弦值.