【推荐1】已知分别是椭圆的左､右焦点，是椭圆上的一点，当时，.
(1)求椭圆的方程；
(2)记椭圆的上下顶点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，证明：直线与的交点在定直线上，并求出该定直线的方程.

【推荐2】在平面直角坐标系中，，曲线上的动点满足，直线过交曲线于两点．
（1）求曲线的方程；
（2）当时，在轴上方时，求的坐标；
（3）当直线的斜率为2时，求三角形的面积．

【推荐3】已知①如图，长为，宽为的矩形，以、为焦点的椭圆恰好过两点.

②设圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，过点作的平行线交于，判断点的轨迹是否椭圆
（1）在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆的标准方程；
（2）根据（1）所得椭圆的标准方程，过原点且斜率不为0的直线与椭圆的交于两点，是椭圆的右顶点，直线，分别与轴交于点，，问以为直径的圆是否恒过轴上的定点？若恒过轴上的定点，请求出该定点的坐标，若不恒过轴上的定点，请说明理由.

【推荐1】已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为6.
(1)求点的轨迹的方程.
(2)已知点，直线与曲线的另一个公共点为，直线与交于点，试问：当点变化时，点是否恒在一条定直线上？若是，请证明；若不是，请说明理由.

【推荐2】已知圆，定点是圆上的一动点，线段的垂直平分线交半径于点.
(1)求的轨迹的方程；
(2)若过的直线分别交轨迹与和，且直线的斜率之积为，求四边形面积的取值范围.

【推荐3】如图，为圆上的动点，定点，线段的垂直平分线交线段于点．

（1）求动点的轨迹方程；
（2）记动点的轨迹为曲线 ，设圆的切线交曲线于两点，求的最大值．

【推荐1】已知椭圆：的左右焦点分别为,,且焦距为2,点为椭圆上的动点（异于椭圆的左､右顶点）,.
(1)证明：;
(2)当,,过椭圆左焦点的直线与椭圆交于两点,在轴上是否存在点,使得为定值?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.

【推荐2】已知椭圆的左顶点为，左、右焦点分别为，离心率为，是椭圆上的一个动点（不与左、右顶点重合），且的周长为6，点关于原点的对称点为，直线交于点.

（1）求椭圆方程；
（2）若直线与椭圆交于另一点，且，求点的坐标.

【推荐3】已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为；圆过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）证明：在轴上存在定点，使得为定值；并求出该定点的坐标.