【推荐1】在矩形ABCD中，，，现将△CBD沿对角线BD翻折，使得平面ABD与平面CBD垂直，此时A、C两点之间的距离为_____________

【推荐2】如图，已知四棱锥的底面是边长为6的菱形，且底面，若点到平面的距离为，则__________.

【推荐3】如图，在正方体中，动点在线段上，异面直线和所成的角为，则的取值范围是______.（用区间表示）

【推荐1】在直角坐标平面中，已知两定点与位于动直线的同侧，设集合点与点到直线的距离之和等于，，则由中的所有点所组成的图形的面积是_________.

【推荐2】在平面上给定相异的两点A，B，设点P与A，B在同一平面上，满足，当且时，点P的轨迹是一个圆，这个圆我们称作阿波罗尼斯圆．在中，，边中点为，则的最大值为__________．

【推荐3】阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.①若定点为，写出的一个阿波罗尼斯圆的标准方程__________；②△中，，则当△面积的最大值为时，______.

【推荐1】若正四面体的棱长为1，在其侧面所在平面内有一动点，已知到底面的距离与到点的距离之比为正常数，且动点的轨迹是抛物线，则的值为______.

【推荐2】如图，在棱长为1的正方体中，点为的中点，点是侧面上（包括边界）的动点，且，给出下列四个结论：
①动点的轨迹是一段圆弧；
②动点的轨迹与没有公共点；
③三棱锥的体积的最小值为；
④平面截该正方体所得截面的面积的最大值为．
其中所有正确结论的序号是__________．
   

【推荐3】如图，正方体的棱长为2，点在正方形的边界及其内部运动，平面区域由所有满足的点组成，则的面积是__________．