【推荐1】已知函数，，其中a为常数，e是自然对数的底数，曲线在其与y轴的交点处的切线记作，曲线在其与x轴的交点处的切线记作，且.
（1）求之间的距离；
（2）若存在x使不等式成立，求实数m的取值范围.

【推荐2】已知函数，其中为自然对数的底数.
（ I）若曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线与曲线y=g（x）在（0，g（0））处的切线互相垂直，求实数a的值；
（Ⅱ）设函数h（x）=，试讨论函数h（x）零点的个数．

【推荐3】设A，B为函数y＝f（x）图象上相异两点，且点A，B的横坐标互为倒数，过点A，B分别作函数y＝f（x）的切线，若这两条切线存在交点，则称这个交点为函数f（x）的“优点”．
（1）若函数不存在“优点”，求实数的值；
（2）求函数的“优点”的横坐标的取值范围；
（3）求证：函数的“优点”一定落在第一象限．

【推荐1】已知函数，．
若是函数的极值点，求曲线在点处的切线方程；
若函数在区间上为单调递减函数，求实数a的取值范围；
设m，n为正实数，且，求证：．

【推荐2】已知函数，其中为自然对数的底数．
（Ⅰ）若函数在上是单调函数，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【推荐3】已知．
(1)若在上单调递增，求a的取值范围，
(2)证明：当时，．

【推荐1】已知函数的图象为曲线, 函数的图象为直线.
（1）当时, 求的最大值;
（2）设直线与 曲线的交点的横坐标分别为, 且，
求证:.

【推荐2】在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉．我国某口罩生产厂商在加大生产的同时．狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该厂质检人员从某日所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：， ，，， ，得到如下频率分布直方图．

（1）规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩．现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为，求的分布列及数学期望；
（2）在2020年“五一”劳动节前，甲，乙两人计划同时在该型号口罩的某网络购物平台上分别参加、两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由个该型号口罩构成．假定甲、乙两人在 、两店订单“秒杀”成功的概率分别为，，记甲、乙两人抢购成功的订单总数量、口罩总数量分别为 ，，
①求的分布列及数学期望；
②求当的数学期望取最大值时正整数的值．

【推荐3】在平面直角坐标系中，，分别是椭圆的左、右焦点，直线与椭圆交于不同的两点、，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线经过椭圆的右焦点，是椭圆上两点，四边形是菱形，求直线的方程；
（3）已知直线不经过椭圆的右焦点，直线，，的斜率依次成等差数列，求直线在轴上截距的取值范围.