若定义域为一切实数的函数
满足：对于任意
，都有
，则称函数为“启迪”函数．
(1)设函数
，
的表达式分别为
，
，判断函数
与
是否是“启迪”函数，并说明理由；
(2)设函数的表达式是
，判断是否存在
以及
，使得函数成为“启迪”函数，若存在，请求出ω、φ，若不存在，请说明理由；
(3)设函数是“启迪”函数，且在
上的值域恰好为
，以
为周期的函数的表达式为
，且在开区间
上有且只有一个零点，求
．
满足：对于任意，都有，则称函数为“启迪”函数．(1)设函数
，的表达式分别为，，判断函数与是否是“启迪”函数，并说明理由；(2)设函数
的表达式是，判断是否存在以及，使得函数成为“启迪”函数，若存在，请求出ω、φ，若不存在，请说明理由；(3)设函数
是“启迪”函数，且在上的值域恰好为，以为周期的函数的表达式为，且在开区间上有且只有一个零点，求．
更新时间：2023-06-13 17:00:40
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解题方法
【推荐1】已知函数．若存在非零常数
和非零常数
，对于集合
内的任意实数
，恒有
成立，则称是上的周期为的级类增周期函数；若存在非零常数和非零常数，对于集合内的任意实数，恒有
成立，则称是上的周期为的级类周期函数．
(1)设
，已知是
上的周期为1的2级类增周期函数，求实数
的取值范围；
(2)已知是
上的周期为1的级类周期函数，且当
时，
．若函数在上严格增，求实数的取值范围；
(3)已知
，设
．试问：是否存在
，使是
上的周期为的级类周期函数？若存在，求出和相应的的值；若不存在，说明理由．
．若存在非零常数和非零常数，对于集合内的任意实数，恒有成立，则称是上的周期为的级类增周期函数；若存在非零常数和非零常数，对于集合内的任意实数，恒有成立，则称是上的周期为的级类周期函数．(1)设
，已知是上的周期为1的2级类增周期函数，求实数的取值范围；(2)已知
是上的周期为1的级类周期函数，且当时，．若函数在上严格增，求实数的取值范围；(3)已知
，设．试问：是否存在，使是上的周期为的级类周期函数？若存在，求出和相应的的值；若不存在，说明理由．
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解题方法
【推荐2】若函数
的导函数
是以
为周期的函数，则称函数具有“性质”．
(1)试判断函数
和
是否具有“性质”，并说明理由；(2)已知函数
，其中
具有“
性质”，求函数在
上的极小值点；(3)若函数
具有“性质”，且存在实数
使得对任意都有
成立，求证：为周期函数．（可用结论：若函数的导函数满足
，则
（常数）．）
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表示不超过
，
，
，对于函数
，
，使得
，则称函数
函数”.
，
是否是“
是“
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(0.4)
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【推荐1】已知函数
，
，如果对于定义域内的任意实数，对于给定的非零常数，总存在非零常数，恒有
成立，则称函数
是上的级类增周期函数，周期为，若恒有
成立，则称函数是上的级类周期函数，周期为.
（1）已知函数
是
上的周期为1的2级类增周期函数，求实数的取值范围；
（2）已知
，是
上级类周期函数，且是上的单调递增函数，当
时，
，求实数的取值范围；
（3）是否存在实数，使函数
是上的周期为的级类周期函数，若存在，求出实数和的值，若不存在，说明理由.
，，如果对于定义域内的任意实数，对于给定的非零常数，总存在非零常数，恒有成立，则称函数是上的级类增周期函数，周期为，若恒有成立，则称函数是上的级类周期函数，周期为.（1）已知函数
是上的周期为1的2级类增周期函数，求实数的取值范围；（2）已知
，是上级类周期函数，且是上的单调递增函数，当时，，求实数的取值范围；（3）是否存在实数
，使函数是上的周期为的级类周期函数，若存在，求出实数和的值，若不存在，说明理由.
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，
为常数，对任意
恒成；则称函数
代
，②
.
为“
代
，求
的值．
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【推荐1】已知
为坐标原点，对于函数
，称向量
为函数的伴随向量，同时称函数为向量
的伴随函数.
(1)设函数
，试求的伴随向量；
(2)记向量
的伴随函数为，求当
且
时，
的值；
(3)当向量
时，伴随函数为，函数
，求
在区间
上最大值与最小值之差的取值范围.
为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数.(1)设函数
，试求的伴随向量；(2)记向量
的伴随函数为，求当且时，的值；(3)当向量
时，伴随函数为，函数，求在区间上最大值与最小值之差的取值范围.
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【推荐2】某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱AB与底面垂直，灯杆BC与灯柱AB所在的平面与道路走向垂直，路灯C采用锥形灯罩，射出的管线与平面ABC部分截面如图中阴影所示，
路宽AD=24米，设
（1）求灯柱AB的高h（用
表示）；
（2）此公司应该如何设置的值才能使制作路灯灯柱AB和灯杆BC所用材料的总长度最小？最小值为多少？
路宽AD=24米，设（1）求灯柱AB的高h（用
表示）；（2）此公司应该如何设置
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【推荐3】某公园有一个湖，如图所示，湖的边界是圆心为O的圆，已知圆O的半径为100米．为更好地服务游客，进一步提升公园亲水景观，公园拟搭建亲水木平台与亲水玻璃桥，设计弓形
为亲水木平台区域（四边形
是矩形，A，D分别为
的中点，
米），亲水玻璃桥以点A为一出入口，另两出入口B，C分别在平台区域
边界上（不含端点），且设计成
，另一段玻璃桥
满足
．
(1)若计划在B，F间修建一休闲长廊该长廊的长度可否设计为70米？请说明理由；（附：
）
(2)设玻璃桥造价为0.3万元/米，求亲水玻璃桥的造价的最小值．（玻璃桥总长为
，宽度、连接处忽略不计）．
为亲水木平台区域（四边形是矩形，A，D分别为的中点，米），亲水玻璃桥以点A为一出入口，另两出入口B，C分别在平台区域边界上（不含端点），且设计成，另一段玻璃桥满足．(1)若计划在B，F间修建一休闲长廊该长廊的长度可否设计为70米？请说明理由；（附：
）(2)设玻璃桥造价为0.3万元/米，求亲水玻璃桥的造价的最小值．（玻璃桥总长为
，宽度、连接处忽略不计）．
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【推荐1】对于定义域为D的函数，若同时满足以下条件：①在D上单调递增或单调递减；②存在区间
，使在
上的值域是，那么我们把函数
叫做闭函数．
(1)判断函数
是不是闭函数？（直接写出结论，无需说明理由）
(2)若函数
为闭函数，则当实数m变化时，求
的最大值．
(3)若函数
为闭函数，求实数k的取值范围．（其中e是自然对数的底数，
）
，若同时满足以下条件：①在D上单调递增或单调递减；②存在区间，使在上的值域是，那么我们把函数叫做闭函数．(1)判断函数
是不是闭函数？（直接写出结论，无需说明理由）(2)若函数
为闭函数，则当实数m变化时，求的最大值．(3)若函数
为闭函数，求实数k的取值范围．（其中e是自然对数的底数，）
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【推荐2】已知是定义域为上的函数，若对任意的实数
，都有：
成立，当且仅当
时取等号，则称函数是上的凸函数，凸函数具有以下性质：对任意的实数
，都有：
成立，当且仅当
时取等号，设
（1）求证：
是
上的凸函数
（2）设
，
，利用凸函数的定义求
的最大值
（3）设
是
三个内角，利用凸函数性质证明
是定义域为上的函数，若对任意的实数，都有：成立，当且仅当时取等号，则称函数是上的凸函数，凸函数具有以下性质：对任意的实数，都有：成立，当且仅当时取等号，设（1）求证：
是上的凸函数（2）设
，，利用凸函数的定义求的最大值（3）设
是三个内角，利用凸函数性质证明
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，则称函数具有性质
.
（
）；②
；
（
，
），
，有
；
，均有
？若有，给出证明，若没有，给出反例.
