【推荐1】设椭圆经过点是椭圆的左、右焦点，且的面积为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设为坐标原点，过椭圆内的一点作斜率为的直线与椭圆交于两点，直线的斜率分别为，若对任意实数，存在实数，使得，求实数的取值范围．

【推荐2】已知椭圆，其长轴长为短轴长的倍，且两焦点距离为2，点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点P的直线交椭圆于M､N两点，O为坐标原点，求面积的最大值，并求此时直线的方程；
(3)已知斜率为k的直线l交椭圆于A､B两点，直线､分别交椭圆于C､D，且直线过点，求k的值.

【推荐3】已知椭圆的右焦点为，且是椭圆上一点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若过且斜率不为0的直线与椭圆相交于两点，若，求直线的方程.

【推荐1】已知椭圆的离心率为，长轴长为4．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线交椭圆于两点，点在直线上且在椭圆外，若成等差数列，求点的轨迹方程．

【推荐2】已知椭圆：的四个顶点围成的四边形的面积为，其离心率为
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的右焦点作直线（轴除外）与椭圆交于不同的两点，，在轴上是否存在定点，使为定值？若存在，求出定点坐标及定值，若不存在，说明理由.

【推荐3】已知椭圆C：的离心率为，点分别是椭圆的左，右焦点，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切.
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点的直线l与椭圆相交于两点，求使面积最大时直线l的方程.

【推荐1】在直角坐标系中，设椭圆的左焦点为,短轴的两个端点分别为，且，点在上.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)若直线与椭圆和圆分别相切于,两点，当面积取得最大值时，求直线的方程.

【推荐2】已知椭圆Γ ：的左、右焦点分别为F₁(－1，0)，F₂(1，0).经过点F₁且倾斜角为的直线l与椭圆Γ交于A，B两点（其中点A在x轴上方），△ABF₂的周长为8.

（1）求椭圆 Γ 的标准方程；
（2）如图，将平面xOy沿x轴折叠，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面AF₁F₂）与y轴负半轴和x轴所确定的半平面（平面BF₁F₂）互相垂直.
①若，求异面直线AF₁和BF₂所成角的余弦值；
②是否存在，使得折叠后△ABF₂的周长为？若存在，求的值；若不存在，说明理由.

【推荐3】已知椭圆的左、右焦点分别是，直线与椭圆相交于两个不同点
（1）求实数的取值范围
（2）若，求实数的取值范围

【推荐1】已知椭圆的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆上，直线与椭圆交于，两点，与轴、轴分别相交于点和点，且，点是点关于轴的对称点，的延长线交椭圆于点，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、.
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在直线，使得点平分线段，？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

【推荐2】已知椭圆C：（）的左、右顶点分别为A，B，O为坐标原点，直线l：与C的两个交点和O，B构成一个面积为的菱形．
（1）求C的方程；
（2）圆E过O，B，交于点M，N，直线，分别交C于另一点P，Q，点S，T满足，，求O到直线和直线的距离之和的最大值．

【推荐3】如图，椭圆的左、右焦点分别为、，，点A为椭圆C上异于左右顶点的任意一点，A关于原点O的对称点为B，，且．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若是A关于x轴的对称点，设点，连接NA，直线NA与椭圆C相交于点E，直线与x轴相交于点M，求点M的坐标．