【推荐1】已知椭圆的焦距为，点在上．
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆与直线相交于不同的两点、，为弦的中点，为椭圆的下顶点，当时，求的取值范围．

【推荐2】已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为；圆过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）证明：在轴上存在定点，使得为定值；并求出该定点的坐标.

【推荐3】已知F₁，F₂为椭圆E：的左、右焦点，且|F₁F₂|＝2，点在E上.
（1）求E的方程；
（2）直线l与以E的短轴为直径的圆相切，l与E交于A，B两点，O为坐标原点，试判断O与以AB为直径的圆的位置关系，并说明理由.

【推荐1】已知椭圆 ，离心率，它的长轴长等于圆的直径.
(1)求椭圆 的方程；
(2)若过点的直线交椭圆于两点，是否存在定点 ，使得以为直径的圆经过这个定点，若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由？

【推荐2】已知椭圆（）的离心率为，左､右焦点分别为，.过的直线交椭圆于，两点，过的直线交椭圆于，两点，且，垂足为，.

(1)求椭圆的标准方程；
(2)求四边形的面积的最小值.

【推荐3】已知椭圆C：的离心率为，直线与椭圆仅有一个公共点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l：，试问在x轴上是否存在一定点M，使得过M的直线交椭圆于P，Q两点，交l于N，且满足，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

【推荐1】已知椭圆：的焦距为，左、右顶点分别为，，是椭圆上一点，记直线、的斜率为、且有．
求椭圆的方程；
若直线：与椭圆交于、两点，以为直径的圆经过原点，且线段的垂直平分线在轴上的截距为，求直线的方程．

【推荐2】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的长轴长为4，且经过点，其中e为椭圆C的离心率.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点的直线l交椭圆C于A，B两点，点B关于x轴的对称点为，直线交x轴于点Q，过点Q作l的垂线，垂足为H，求证：点H在定圆上.

【推荐3】已知椭圆：的右焦点为，且过点.
(1)求的方程；
(2)若点是上的一点，过作直线与相切，直线与轴的正半轴交于点，过与平行的直线交轴于点，且，求直线的方程.

【推荐1】定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆．
（1）若椭圆，判断与是否相似？如果相似，求出与的相似比；如果不相似，请说明理由；
（2）写出与椭圆相似且短半轴长为的椭圆的方程；若在椭圆上存在两点、关于直线对称，求实数的取值范围．

【推荐2】已知直线过椭圆的右焦点，且交椭圆于两点，点在直线上的射影分别为点.若，其中为原点，为右顶点，为离心率.
(1)求椭圆的方程；
(2)连接，试探索当变化时，直线是否相交于一定点.若交于定点，请求出点的坐标，并给予证明；否则说明理由.

【推荐3】已知椭圆的焦点坐标为、，且点在椭圆上.
（1）求的方程；
（2）设是直线上一点，过点作两条斜率之积为的直线、，且直线、均与椭圆只有一个公共点，求的坐标.