【推荐1】如图，在梯形中，，将沿直线翻折至的位置，，当三棱锥的体积最大时，过点的平面截三棱锥的外接球所得的截面面积的最小值是_______________.

【推荐2】正方体的棱长为，动点在对角线上，过点作垂直于的平面，记平面截正方体得到的截面多边形（含三角形）的周长为，设，.
（1）下列说法中，正确的编号为______.
①截面多边形可能为六边形；②；③函数的图象关于对称.
（2）当时，三棱锥的外接球的表面积为______.

【推荐3】已知等边的边长为2，将其沿边旋转到如图所示的位置，此时点，，，在同一球面上，且，则该球的表面积为___________.

【推荐1】正四面体的棱长为12，点是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，点到的距离为__________．

【推荐2】在直四棱柱中，底面是边长为的菱形，，，过点与直线垂直的平面交直线于点，则三棱锥的外接球的表面积为____.

【推荐3】蹴鞠（如图所示），又名球、蹴圆、筑球、踢圆等，有用脚蹴、蹋、踢的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球．因而赋鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动类似今日的足球，2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列人第一批国家非物质文化遗产名录，已知鞠的表面上有四个点A，，，，四面体的体积为，经过该鞠的中心，且，，则该鞠的表面积为______．

【推荐1】在三棱锥中，侧面所在平面与平面的夹角均为，若，且是直角三角形，则三棱锥的体积为______．

【推荐2】我国古代数学名著《九章算术》中记载，斜解立方为“堑堵”，即底面是直角三角形的直三棱柱（直三棱柱为侧棱垂直于底面的三棱柱）.如图，棱柱为一个“堑堵”，底面的三边中的最长边与最短边分别为，，且，，点在棱上，且，则当的面积取最小值时，异面直线与所成的角的余弦值为________.

【推荐3】如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面为的中点，为内一动点（不与三点重合）.给出下列四个结论：
   
①直线与所成角的大小为；②；③的最小值为；④若，则点的轨迹所围成图形的面积是.
其中所有正确结论的序号是__________.

【推荐1】已知矩形，沿将折起成，若点在平面上的射影落在的内部（包括边界），则四面体的体积的最大值为__________，最小值为__________.

【推荐2】在梯形中，，，，将沿折起，连接，得到三棱锥，当三棱锥的体积取得最大值时，该三棱锥的外接球的表面积为______.

【推荐3】在三棱锥中，是边长为2的正三角形，且平面底面 ，，，则该三棱锥的外接球表面积为______．