【推荐1】在数列中，，，，．
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）设，，求数列的前项和.

【推荐2】已知数列满足，对任意，和中存在一项使其为另一项与的等差中项
（1）已知，，，求的所有可能取值；
（2）已知，、、为正数，求证：、、成等比数列，并求出公比；
（3）已知数列中恰有3项为0，即，，且，，求的最大值.

【推荐3】设函数（其中），，
（1）求的值
（2）设写出与的递推关系，并求的通项公式.
（3）设数列的通项公式为,数列的前项和为，
问1000是否为数列中的项？若是，求出相应的项数，若不是，请说明理由.

【推荐1】已知集合，.中的所有元素按从小到大的顺序排列构成数列，为数列的前项的和.
(1)求；
(2)如果，，求和的值；
(3)如果，求（用来表示）.

【推荐2】若数列的项的最大奇因数为，则叫做的“滤净数列”．已知数列满足是的滤净数列．
(1)求的通项公式及的值；
(2)若，求的前项和．

【推荐3】已知数列的前项和为，且对一切正整数都成立，
（I）证明:数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
（II）设，求数列的前项和.

【推荐1】已知数列的首项，其前n项和为，对于任意正整数，都有.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足.
①若，求证：数列是等差数列；
②若数列都是等比数列，求证：数列中至多存在三项.

【推荐2】定义：设是正整数，如果对任意正整数，当时，即有，那么称数列的前项可被数列的第项替换.已知数列的前项和是，数列是公差为1的等差数列.
（1）求数列的通项公式（用，表示）；
（2）已知，数列的前项和满足；
①求证：数列为等比数列，并求的通项公式；
②若数列的前可被数列的前项替换，且的最大值为8，求的取值范围.

【推荐3】设是各项均为正数的等差数列，，是和的等比中项，的前项和为，.
（1）求和的通项公式;
（2）设数列的通项公式.
（i）求数列的前项和；
（ii）求.

【推荐1】已知数列， ， ，（ ），， 为数列的前项和．
求证：
(1)；
(2)；
(3)．

【推荐3】物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用非常广泛．其定义是：对于函数，若满足，则称数列为牛顿数列．已知，如图，在横坐标为的点处作的切线，切线与x轴交点的横坐标为，用代替重复上述过程得到，一直下去，得到数列．

(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前n项和为，且对任意的，满足，求整数 的最小值；（参考数据：）
(3)在（2）的前提下，设，直线与曲线有且只有两个公共点，其中，求的值．