已知双曲线
的左、右焦点分别为
、
，左、右顶点分别为
、
，点
在
上，
．
(1)求双曲线
的标准方程．(2)若过焦点
且斜率存在的直线与双曲线的右支交于
、
两点，线段
的垂直平分线与
轴交于点
，试问
是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．
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更新时间：2024-01-06 20:27:17
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
名校
解题方法
【推荐1】已知双曲线
的左顶点为
，点
在渐近线上，过点
的直线交双曲线
的右支于
两点，直线
分别交直线
于点
.
(1)求双曲线的方程；
(2)求证：
为的中点.
的左顶点为，点在渐近线上，过点的直线交双曲线的右支于两点，直线分别交直线于点.(1)求双曲线
的方程；(2)求证：
为的中点.
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
解题方法
【推荐2】已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为
，
为的左顶点，且
．
(1)求的方程；
(2)若动直线
与恰有
个公共点，且与的两条渐近线分别交于点、．求证：点与点的横坐标之积为定值．
的左、右焦点分别为、，离心率为，为的左顶点，且．(1)求
的方程；(2)若动直线
与恰有个公共点，且与的两条渐近线分别交于点、．求证：点与点的横坐标之积为定值．
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，
，
分别为双曲线的左､右焦点.
，
，求证：
为定值，并求出该定值.
解答题-问答题
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较难
(0.4)
解题方法
【推荐1】已知双曲线
的离心率是3，点
在上.
(1)求的标准方程；
(2)已知直线与相切，且与的两条渐近线分别交于
两点，为坐标原点，试问
是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
的离心率是3，点在上.(1)求
的标准方程；(2)已知直线
与相切，且与的两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
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【推荐2】已知双曲线C：
的右焦点为
，过F且斜率为
的直线交C于A，B两点，且当
时，A的横坐标为3.
(1)求C的方程；
(2)设O为坐标原点，过A且平行于x轴的直线与直线
交于点D，P为线段
的中点，直线交于点Q，证明：
.
的右焦点为，过F且斜率为的直线交C于A，B两点，且当时，A的横坐标为3.(1)求C的方程；
(2)设O为坐标原点，过A且平行于x轴的直线与直线
交于点D，P为线段的中点，直线交于点Q，证明：.
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的中点，过
两点，延长
分别与
两点，若
为
；
的斜率都存在，分别记为
，判断
是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.
【推荐1】已知双曲线
的左､右焦点分别为
，焦距为4，虚半轴长为1.如图，直线与双曲线的右支交于两点
，其中点在第一象限.与关于原点对称，连接
与
，其中垂直于
的平分线
，垂足为
.的标准方程；
(2)求证：直线与直线
的斜率之积为定值；
(3)求
的最小值.
的左､右焦点分别为，焦距为4，虚半轴长为1.如图，直线与双曲线的右支交于两点，其中点在第一象限.与关于原点对称，连接与，其中垂直于的平分线，垂足为.
的标准方程；(2)求证：直线
与直线的斜率之积为定值；(3)求
的最小值.
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【推荐2】已知椭圆
长轴的两顶点为、
，左右焦点分别为、，焦距为
且
，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为3．
（1）求椭圆的方程；
（2）在双曲线
上取点（异于顶点），直线
与椭圆交于点，若直线
、
、
、
的斜率分别为
、
、
、
．试证明：
为定值；
（3）在椭圆外的抛物线
：
上取一点，
、
的斜率分别为
、
，求
的取值范围．
长轴的两顶点为、，左右焦点分别为、，焦距为且，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为3．（1）求椭圆
的方程；（2）在双曲线
上取点（异于顶点），直线与椭圆交于点，若直线、、、的斜率分别为、、、．试证明：为定值；（3）在椭圆
外的抛物线：上取一点，、的斜率分别为、，求的取值范围．
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的实轴长为
，左右两个顶点分别为
，经过点
的直线
轴时，
.
的斜率之比为定值.
