【推荐1】已知圆上一动点，过点作轴，垂足为点，中点为．
(1)当在圆上运动时，求点的轨迹的方程；
(2)过点的直线与交于两点，当时，求线段的垂直平分线方程．

【推荐2】设是单位圆上的任意一点，是过点与轴垂直的直线，是直线与轴的交点，点在直线上，且满足.当点在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程，判断曲线为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；
（2）过原点且斜率为的直线交曲线于，两点，其中在第一象限，它在轴上的射影为点，直线交曲线于另一点.是否存在，使得对任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

【推荐3】已知点，，直线，相交于点，且它们的斜率乘积为.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）设曲线与轴正半轴交于点，直线：与交于，两点，是线段的中点.证明：.

【推荐1】已知椭圆，圆心为坐标原点的单位圆O在C的内部，且与C有且仅有两个公共点，直线与C只有一个公共点.
（1）求C的标准方程；
（2）设不垂直于坐标轴的动直线l过椭圆C的左焦点F，直线l与C交于A，B两点，且弦AB的中垂线交x轴于点P，试求的面积的最大值.

【推荐2】已知椭圆的离心率为，直线l过点，，且与椭圆C相切于点P.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在过点的直线m与椭圆C相交于不同的两点M、N，使得
?若存在，试求出直线m的方程；若不存在,请说明理由.

【推荐3】已知椭圆的左、右顶点分别为，，过左焦点且垂直于x轴的直线交椭圆于D，E两点，．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点P，Q为椭圆上异于A，B的两个动点，设直线AP，BQ的斜率分别为，，和的面积分别为，，若，求的最大值．

【推荐1】已知曲线的方程为，过且与轴垂直的直线被曲线截得的线段长为.
（1）求曲线的标准方程；
（2）过点的直线交于，两点，已知点，直线，分别交轴于点，.试问在轴上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

【推荐2】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴，离心率为，且长轴长是短轴长的倍.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设，过椭圆左焦点的直线交于，两点，若对满足条件的任意直线，不等式恒成立，求的最小值.

【推荐3】已知椭圆C：的离心率，短半轴长为.
(1)求椭圆C的方程．
(2)已知过定点的直线l与椭圆交于两点，且与直线x交于点，如果，，那么是否为定值？若是，求出具体数值；若不是，请说明理由．

【推荐1】设直线l：与椭圆相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点F．
(1)证明：；
(2)若F是椭圆的一个焦点，且，求椭圆的方程．

【推荐2】已知椭圆的左、右顶点分别为，，右焦点的坐标为，过点作直线交于，两点（异于，），当垂直于轴时，.
(1)求的标准方程；
(2)直线交直线于点，证明：，，三点共线.

【推荐3】已知椭圆：的离心率为，上焦点到上顶点的距离为2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线交椭圆于，两点，与定直线：交于点，设，，证明：为定值.