组卷网 > 高中数学综合库 > 空间向量与立体几何 > 空间几何体 > 空间几何体的结构 > 棱柱 > 棱柱的展开图及最短距离问题
题型:解答题-证明题 难度:0.65 引用次数:446 题号:217958
如图,在正方体中,分别为棱的中点.

(1)求证:平面
(2)求证:平面⊥平面
(3)如果,一个动点从点出发在正方体的表面上依次经过棱上的点,最终又回到点,指出整个路线长度的最小值并说明理由.

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【推荐1】对于精美的礼物,通常人们会用包装纸把礼物包好,还会用彩带捆扎包装好的礼物,有时还会扎出一个花结.这些包装彩带也不便宜,因此在捆扎时不仅要考虑美观、结实,也要考虑尽量地节省包装彩带.以长方体的礼物为例,较为典型的两种捆扎方式分别为“十字”和“对角”,如下图所示.
“十字”捆扎“对角”捆扎
假设1:将礼物视作一个长方体,其长为4,宽为2、高为1;假设2:不考虑花结处的彩带,将每一段彩带视为线段,且完全位于礼物的表面上;假设3:“十字”捆扎中,长方体表面上的每一段彩带(上底面和下底面各2段,每个侧面各1段)都与其相交的棱垂直;假设4:“对角”捆扎中,以某种方式展开长方体后,长方体表面上的每一段彩带(上底面和下底面各2段,每个侧面各1段)在其表面展开图上均落在同一条直线上.
(1)求“十字”捆扎中彩带的总长度;
(2)根据假设4绘制示意图,求“对角”捆扎中彩带的总长度,并比较两种捆扎方式,给出用彩带捆扎礼物的建议.
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【推荐3】如图,在正三棱柱中,,由顶点沿棱柱侧面经过棱到顶点的最短路线与棱的交点记为,求:

(1)三棱柱的侧面展开图的对角线长;
(2)该最短路线的长及的值;
(3)平面与平面所成二面角(锐角)的大小.
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