【推荐1】已知双曲线C；经过点，右焦点为，且成等差数列.
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的右支交于P，Q两点（P在Q的上方），PQ的中点为M，M在直线l:上的射影为N，O为坐标原点，设△POQ的面积为S，直线PN，QN的斜率分别为，，证明:是定值.

【推荐2】已知数列满足,设该数列的前n项和为,且成等差数列.
（1）用 表示；     
（2）求数列的通项公式.

【推荐3】已知函数，等差数列的前项和为，记.
(1)求证：的图象关于点中心对称；
(2)若，，是某三角形的三个内角，求的取值范围；
(3)若，求证：.反之是否成立?并请说明理由.

【推荐1】已知数列是公差的等差数列，记为其前n项和
（1）若，，依次成等比数列，求其公比q；
（2）若，，求证：点都在同一条直线上；
（3）若，，，是否存在一个半径最小的圆，使得对任意，点都在这个圆内或圆周上，如果存在，写出这个圆的方程；如果不存在，说明理由．

【推荐2】已知A，B分别为椭圆的上下顶点，P为直线上的动点，且P不在椭圆上，与椭圆E的另一交点为C，与椭圆E的另一交点为D，（C，D均不与椭圆E上下顶点重合）.
(1)证明：直线过定点；
(2)设（1）问中定点为Q，过点C，D分别作直线的垂线，垂足分别为M，N，记，，的面积分别为，，，试问：是否存在常数t，使得，，总为等比数列？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.

【推荐3】如图所示，抛物线C₁：x²＝4y在点A，B处的切线垂直相交于点P，直线AB与椭圆，C₂：相交于C，D两点．

（Ⅰ）求抛物线C₁的焦点F与椭圆C₂的左焦点F₁的距离；
（Ⅱ）设点P到直线AB的距离为d，是否存在直线AB，使得|AB|，d，|CD|成等比数列？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，请说明理由．

【推荐1】已知数列的各项为正，且，是公比为的等比数列.再从：
①数列的前项和满足：
②数列是公差不为0的等差数列，且，，，，成等比数列．
这两个条件中任选一个，解答下列问题.
（1）求数列，的通项公式；
（2）令，设的前项和为若对恒成立，求实数的取值范围.

【推荐2】记数列的前n项和为，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为
若是等差数列，项数n为偶数，首项，公差，且，求；
若数列的首项，满足，其中实常数，且，请写出满足上述条件常数t的两个不同的值和它们所对应的数列．

【推荐1】已知数列的各项为正数，其前项和为满足，设
.
（1）求证：数列是等差数列，并求的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求的最大值.
（3）设数列的通项公式为，问: 是否存在正整数t，使得
成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由.

【推荐2】已知数列，，是数列的前n项和，已知对于任意，都有，数列是等差数列，，且，，成等比数列．
（1）求数列和的通项公式；
（2）记，
（i）求数列的前n项和；
（ii）求．

【推荐3】已知数列的首项，其前n项和为，对于任意正整数，都有.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足.
①若，求证：数列是等差数列；
②若数列都是等比数列，求证：数列中至多存在三项.