【推荐1】已知双曲线的上､下顶点分别为为虚轴的一个顶点，且.
(1)求的方程；
(2)直线与双曲线交于不同于的两点，若以为直径的圆经过点，且于点，证明：存在定点，使为定值.

【推荐2】在平面直角坐标系中，已知双曲线（、为正数）的右顶点为，右焦点到渐近线的距离为，直线与双曲线交于、两点，且、均不是双曲线的顶点，为的中点．
(1)求双曲线的方程；
(2)当直线与直线的斜率均存在时，设斜率分别为、，求的值；
(3)若，试探究直线是否过定点？若过定点，求出该定点坐标：否则，说明理由．

【推荐3】已知双曲线的右顶点为，过右焦点的直线与交于，两点.当轴时，的面积为3.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点的直线与曲线交于点（异于点），直线与直线分别交于点.若点四点共圆，求实数的值.

【推荐1】已知双曲线与椭圆的离心率互为倒数，且双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为．
(1)求双曲线的方程；
(2)直线与双曲线交于两点，点在双曲线上，且，求的取值范围．

【推荐2】对于双曲线，定义为其伴随曲线，记双曲线的左、右顶点为A、B．
（1）当时，记双曲线的焦距为，其伴随曲线的焦距为，若，求双曲线的渐近线方程；
（2）若双曲线，弦轴，记直线PA与QB的交点为M，求动点M的轨迹方程；
（3）过双曲线的左焦点F且斜率为k的直线l与双曲线交于、两点，证明：对任意的，在伴随曲线上总存在点S，使得．

【推荐3】如图,（1）广州塔外形优美，游客都亲切地称之为“小蛮腰”，其主塔部分可近似地看成是由一个双曲面和上下两个圆面围成的.其中双曲面的构成原理如图（2）所示，圆，所在的平面平行，垂直于圆面，AB为一条长度为定值的线段，其端点A，B分别在圆，上，当A，B在圆上运动时，线段AB形成的轨迹曲面就是双曲面.用过的任意一个平面去截双曲面得到的截面曲线都是双曲线，我们称之为截面双曲线.已知主塔的高度，，设塔身最细处的截面圆的半径为，上、下圆面的半径分别为，，且，.
   
(1)求与的夹角；
(2)建立适当的坐标系，求该双曲面的截面双曲线的渐近线方程.

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，已知双曲线的左顶点为，右焦点为，离心率为2，且经过点，点是双曲线右支上一动点，过三点的圆的圆心为，点分别在轴的两侧.

(1)求的标准方程；
(2)求的取值范围；
(3)证明：.

【推荐2】已知双曲线是双曲线的左顶点，直线.
(1)设直线过定点，且交双曲线于两点，求证：直线与的斜率之积为定值；
(2)设直线与双曲线有唯一的公共点.
（i）已知直线与双曲线的两条渐近线相交于两点，求证：；
（ii）过点且与垂直的直线分别交轴､轴于两点，当点运动时，求点的轨迹方程.

【推荐3】在平面直角坐标系中，设双曲线的右准线与其两条渐近线的交点分别为、，且．
(1)求双曲线的方程；
(2)设动直线与双曲线相交于点、，若，求证：存在定圆与直线相切，并求该定圆的方程．