某市教育局为了调查学生热爱数学是否与学生的年级有关，从全市随机抽取了50位高二学生和
位高三学生进行调查，每位学生对“是否热爱数学”提出“热爱”或“不热爱”的观点，得到如下数据：
(1)以该50名高二学生热爱数学的频率作为全市高二学生热爱数学的概率，从全市的高二学生中随机抽取3名学生，记
为这3名学生中热爱数学的学生人数，求的分布列和期望；
(2)若根据小概率值
的独立性检验，认为热爱数学与学生的年级有关，求实数
的最小值．
附：
．
位高三学生进行调查，每位学生对“是否热爱数学”提出“热爱”或“不热爱”的观点，得到如下数据：观点 | 高二 | 高三 |
热爱 | 30 | 20 |
不热爱 | 20 |
为这3名学生中热爱数学的学生人数，求的分布列和期望；(2)若根据小概率值
的独立性检验，认为热爱数学与学生的年级有关，求实数的最小值．附：
． | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
更新时间：2024/04/12 21:35:28
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解答题-问答题
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(0.65)
解题方法
【推荐1】已知
，函数
.
（1）求函数
的最小值；
（2）若
，证明，
.（提示：
）
，函数.（1）求函数
的最小值；（2）若
，证明，.（提示：）
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解答题-证明题
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解题方法
【推荐2】已知A是直线
和曲线
的一个公共点.
(1)若直线
与曲线
相切于点A，求
的值；
(2)设点A的横坐标为
，当在区间
上变化时，求
的最大值；
(3)若直线与曲线另有一个不同于A的公共点
，求证：线段
中点的纵坐标大于1.
和曲线的一个公共点.(1)若直线
与曲线相切于点A，求的值；(2)设点A的横坐标为
，当在区间上变化时，求的最大值；(3)若直线
与曲线另有一个不同于A的公共点，求证：线段中点的纵坐标大于1.
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的一个极值点为0，②
为奇函数，③若曲线
在点
处的切线与直线
垂直这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并回答下列问题.
，且___________，求
上的最大值与最小值.
解答题-问答题
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名校
【推荐1】某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）.
（I）应收集多少位男生样本数据？
（II）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：
，
，
，
，
，
，试估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率；
（Ⅲ）在样本数据中，有165位男生的每周平均体育运动时间超过4个小时请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有
％的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.
附：
（I）应收集多少位男生样本数据？
（II）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：
，，，，，，试估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率；（Ⅲ）在样本数据中，有165位男生的每周平均体育运动时间超过4个小时请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有
％的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.| 男生 | 女士 | 总计 | |
| 每周平均体育运动时 间不超过4小时 | |||
| 每周平均体育运动时 间超过4小时 | |||
| 总计 |
附：
 | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 |
| k | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
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解题方法
【推荐2】从某学校获取了容量为
的有放回简单随机样本，将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理，其中有四个数据记为
，得到如下列联表；
（1）求的值；
（2）依据
的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？
附：
，
．
下表给出了
独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值．
的有放回简单随机样本，将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理，其中有四个数据记为，得到如下列联表；数学成绩 | 语文成绩 | 合计 | |
不优秀 | 优秀 | ||
不优秀 |
|
|
|
优秀 |
|
|
|
合计 |
|
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的值；（2）依据
的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？附：
，．下表给出了
独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值． |  |  | |  | |
|  |  |  |  |  |
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的列联表；
参考数据：
解答题-问答题
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解题方法
【推荐1】从批量较大的产品中随机取出10件产品进行质量检测，若这批产品的不合格率为0.05，随机变量表示这10件产品中的不合格产品的件数．
（1）问：这10件产品中“恰好有2件不合格的概率
”和“恰好有3件不合格的概率
”哪个大？请说明理由；
（2）求随机变量的数学期望
．
表示这10件产品中的不合格产品的件数．（1）问：这10件产品中“恰好有2件不合格的概率
”和“恰好有3件不合格的概率”哪个大？请说明理由；（2）求随机变量
的数学期望．
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解答题-应用题
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【推荐2】某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．对于每道题，若甲自己有把握答对，则选择独立答题．甲每道题自己有把握独立答对的概率为
；若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为
，假设每道题答对与否互不影响．
(1)当
时，若甲答了4道题，计甲答对题目的个数为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望
；
(2)乙答对每道题的概率为
（含亲友团），现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于
，求甲的亲友团每道题答对的概率的最小值．
；若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为，假设每道题答对与否互不影响．(1)当
时，若甲答了4道题，计甲答对题目的个数为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望；(2)乙答对每道题的概率为
（含亲友团），现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率的最小值．
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解答题-问答题
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名校
解题方法
【推荐3】某市为了更好地了解全体中小学生感染某种病毒后的情况，以便及时补充医疗资源，从全市中小学生中随机抽取了100名该病毒抗原检测为阳性的中小学生监测其健康状况，100名中小学生感染某种病毒后的疼痛指数为X，并以此为样本得到了如下图所示的表格：
(1)统计学中常用
表示在事件A发生的条件下事件B发生的似然比．现从样本中随机抽取1名学生，记事件A为“该名学生为有症状感染者（轻症感染者和重症感染者统称为有状感染者）”，事件B为“该名学生为重症感染者”，求事件A发生的条件下事件B发生的似然比；
(2)若该市所有该病毒抗原检测为阳性的中小学生的疼痛指数X近似服从正态分布
，且
．若从该市众多抗原检测为阳性的中小学生中随机地抽取3名，设这3名学生中轻症感染者人数为Y，求Y的概率分布列及数学期望．
| 疼痛指数X |  |  |  |
| 人数 | 10 | 81 | 9 |
| 名称 | 无症状感染者 | 轻症感染者 | 重症感染者 |
表示在事件A发生的条件下事件B发生的似然比．现从样本中随机抽取1名学生，记事件A为“该名学生为有症状感染者（轻症感染者和重症感染者统称为有状感染者）”，事件B为“该名学生为重症感染者”，求事件A发生的条件下事件B发生的似然比；(2)若该市所有该病毒抗原检测为阳性的中小学生的疼痛指数X近似服从正态分布
，且．若从该市众多抗原检测为阳性的中小学生中随机地抽取3名，设这3名学生中轻症感染者人数为Y，求Y的概率分布列及数学期望．
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解答题-问答题
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【推荐1】2021年秋季，国家教育部在全国中小学全面开展“双减”，实施“
”服务模式.为响应这一政策，某校开设了“篮球”、“围棋”、“文学社”、“皮影戏”四门课后延时服务课程，供五年级200名学生选择学习.经过一个学期的学习后，学校对课后延时服务的效果进行调研，随机抽选了50名男生和50名女生，通过调研后得到以下结果：
(1)试依据小概率值
的独立性检验，分析学生对课后延时服务的兴趣是否与性别有关.
(2)若用频率估计概率，从该校五年级的接受调研的女生中按分层抽样的方式任选5人，再从中选出3人进行深入调研，用
表示选取的女生兴趣一般的人数，求的分布列与数学期望.
附：
，其中
”服务模式.为响应这一政策，某校开设了“篮球”、“围棋”、“文学社”、“皮影戏”四门课后延时服务课程，供五年级200名学生选择学习.经过一个学期的学习后，学校对课后延时服务的效果进行调研，随机抽选了50名男生和50名女生，通过调研后得到以下结果：兴趣较大 | 兴趣一般 | |
男生 | 35 | 15 |
女生 | 30 | 20 |
的独立性检验，分析学生对课后延时服务的兴趣是否与性别有关.(2)若用频率估计概率，从该校五年级的接受调研的女生中按分层抽样的方式任选5人，再从中选出3人进行深入调研，用
表示选取的女生兴趣一般的人数，求的分布列与数学期望.附：
，其中 | |  |  |
| | | |
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解答题-应用题
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(0.65)
名校
【推荐2】乒乓球是中国的国球，我国选手取得世界乒乓球比赛的大部分冠军，甚至多次包揽整个赛事的所有冠军，乒乓球运动也深受人们的喜爱．乒乓球主要有白色和黄色两种，国际乒联将球的级别用星数来表示，星级代表质量指标等级，星级越高质量越好，级别最高为“☆☆☆”，即三星球，国际乒联专业比赛指定用球，二星球适用于国内重大比赛及国家队专业训练，一星球适用于业余比赛或健身训练．一个盒子装有9个乒乓球，其中白球有2个三星“☆☆☆”，4个一星“☆”，黄球有1个三星“☆☆☆”，2个一星“☆”
(1)逐个无放回取两个球，记事件
{第一次白球}，事件
{第二次三星球}，求
，并判断事件A与事件B是否相互独立；
(2)逐个无放回取球，取出白球即停止，取出的三星球数记为随机变量X，求随机变量X的分布列及期望．
(1)逐个无放回取两个球，记事件
{第一次白球}，事件{第二次三星球}，求，并判断事件A与事件B是否相互独立；(2)逐个无放回取球，取出白球即停止，取出的三星球数记为随机变量X，求随机变量X的分布列及期望．
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