【推荐1】如图，已知椭圆的焦点和上顶点分别为，我们称为椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的特征三角形是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，且三角形的相似比即为椭圆的相似比．已知椭圆和直线．

(1)已知椭圆与椭圆是相似椭圆，求的值及椭圆与椭圆的相似比；
(2)如图，设直线与椭圆相交于两点，与椭圆交于两点，求证:

【推荐2】在直角坐标系中，点到两点，的距离之和等于4，设点的轨迹为，直线与交于、两点.
(1)求的方程；
(2)若，求的值；
(3)若，求的值；
(4)当时，求的中点坐标.

【推荐3】已知椭圆：的左，右焦点分别为，离心率为，是上的一个动点，且面积的最大值为.
（1）求的方程；
（2）设的左，右顶点分别为，若直线分别交直线于两点，过作以为直径的圆的切线．证明：切线长为定值，并求该定值.

【推荐1】已知圆O：，点M是圆O上任意一点，M在x轴上的射影为N，点P满足，记点P的轨迹为E.
(1)求曲线E的方程；
(2)已知，过F的直线m与曲线E交于A，B两点，过F且与m垂直的直线n与圆O交于C，D两点，求的取值范围.

【推荐2】在平面直角坐标系中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为．
（Ⅰ）写出C的方程；
（Ⅱ）设直线与C交于A，B两点．k为何值时？此时的值是多少？

【推荐3】在平面直角坐标系中，动点，满足，记点的轨迹为．
(1)请说明是什么曲线，并写出它的方程；
(2)设不过原点且斜率为的直线与交于不同的两点，，线段的中点为，直线与交于两点，，请判断与的关系，并证明你的结论．

【推荐1】已知椭圆的一个顶点坐标为，离心率为，直线交椭圆于不同的两点、.
（1）求椭圆的方程；
（2）设点，是否存在实数，使得的面积为？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由.

【推荐2】已知椭圆C：的离心率为，上顶点为，下顶点为，，设点在直线上，过点的直线分别交椭圆于点和点，直线与轴的交点为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若的面积为的面积的2倍，求t的值.

【推荐3】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，短轴长为．
   
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆交于两点，是椭圆上位于直线两侧的动点，且直线的斜率为，求四边形的面积的最大值．

【推荐1】已知椭圆过点，其离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与相交于两点，在轴上是否存在点，使为正三角形，若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.

【推荐2】设椭圆的左右焦点分别为，椭圆的上顶点，点为椭圆上一点，且.
(1)求椭圆的离心率及其标准方程；
(2)圆圆心在原点，半径为，过原点的直线与椭圆交于两点，椭圆上一点满足，试说明直线与圆的位置关系，并证明.