刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为
，故其各个顶点的曲率均为
．如图，在直三棱柱
中，点A的曲率为
，N，M分别为AB，
的中点，且
．
平面
．
(2)证明：平面
平面．
(3)若
，求二面角
的正切值．
，故其各个顶点的曲率均为．如图，在直三棱柱中，点A的曲率为，N，M分别为AB，的中点，且．
平面．(2)证明：平面
平面．(3)若
，求二面角的正切值．
23-24高一下·吉林·期中 查看更多[3]
更新时间：2024-06-15 17:28:34
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解题方法
【推荐1】如图，在四棱锥
中，
，
，
，
平面
.
（1）求证：
平面
；
（2）若
为线段
的中点，且过
，
，三点的平面与线段
交于点
，确定点的位置，说明理由；若点
到平面
的距离为
，求
的值.
中，，，，平面.（1）求证：
平面；（2）若
为线段的中点，且过，，三点的平面与线段交于点，确定点的位置，说明理由；若点到平面的距离为，求的值.
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(0.4)
【推荐2】已知三棱锥
中，
平面
，
，
，
为
中点，
为
中点，
在上，
.二面角
的平面角大小为.
平面；
(2)求点到平面
的距离.
中，平面，，，为中点，为中点，在上，.二面角的平面角大小为.
平面；(2)求点
到平面的距离.
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中，B=90°，AB=4，BC=2，D，E分别是边AB，AC的中点，现将
平面PBC=l.
平面PBD；
，求平面PEC与平面PBD夹角的正弦值.
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解题方法
【推荐1】如图，在四棱锥中，底面，四边形中，
，
.
平面
；
（2）设
，若直线与平面
所成角大小为30°，求线段
的长.
中，底面，四边形中，，.
平面；（2）设
，若直线与平面所成角大小为30°，求线段的长.
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(0.4)
名校
【推荐2】如图，在直角梯形中，
，
，
，为的中点，沿
将
折起，使得点到点
的位置，且
，为的中点，是
上的动点（与点
，不重合）．
(1)证明：平面
平面
；
(2)是否存在点，使得二面角
的正切值为
？若存在，确定点位置；若不存在，请说明理由．
中，，，，为的中点，沿将折起，使得点到点的位置，且，为的中点，是上的动点（与点，不重合）．(1)证明：平面
平面；(2)是否存在点
，使得二面角的正切值为？若存在，确定点位置；若不存在，请说明理由．
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分别是侧棱
的中点，
，
平面
.
平面
；
，且三棱锥
的体积为
，求二面角
的余弦值.
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【推荐1】如图，在四棱锥中，底面ABCD，
，
，
，
，点E为棱PC的中点．
(1)证明：
平面PAD；
(2)若F为棱PC上一点，满足
，求三棱锥FABD的侧面FBD与底面ABCD所成二面角的余弦值．
中，底面ABCD，，，，，点E为棱PC的中点．(1)证明：
平面PAD；(2)若F为棱PC上一点，满足
，求三棱锥FABD的侧面FBD与底面ABCD所成二面角的余弦值．
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(0.4)
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【推荐2】如图，已知等腰梯形的外接圆圆心
在底边上，
点是上半圆上的动点（不包含
两点），点
是线段上的动点，将半圆
所在的平面沿直径折起，使得平面平面
不可能垂直
；
(2)当
平面
时，求
的值；
(3)设
与平面
所成的角为
，二面角
的平面角为
，其中
，求
的最大值.
的外接圆圆心在底边上，点是上半圆上的动点（不包含两点），点是线段上的动点，将半圆所在的平面沿直径折起，使得平面平面
不可能垂直；(2)当
平面时，求的值；(3)设
与平面所成的角为，二面角的平面角为，其中，求的最大值.
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【推荐3】如图，在四棱锥中，
平面，底面是直角梯形，
为
的中点.
(1)证明：
平面.
(2)若二面角
的正切值为，求二面角
的正弦值.
中，平面，底面是直角梯形，为的中点.(1)证明：
平面.(2)若二面角
的正切值为，求二面角的正弦值.
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【推荐1】设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为
，其中Qi（i＝1，2，…，k，k≥3）为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面Q1PQ2，平面Q2PQ3，…，平面Qk﹣1PQk和平面QkPQ1遍历多面体M的所有以P为公共点的面．
（1）如图1，已知长方体A1B1C1D1﹣ABCD，AB＝BC＝1，
，点P为底面A1B1C1D1内的一个动点，则求四棱锥P﹣ABCD在点P处的离散曲率的最小值；
（2）图2为对某个女孩面部识别过程中的三角剖分结果，所谓三角剖分，就是先在面部取若干采样点，然后用短小的直线段连接相邻三个采样点形成三角形网格．区域α和区域β中点的离散曲率的平均值更大的是哪个区域？（确定“区域α”还是“区域β”）
，其中Qi（i＝1，2，…，k，k≥3）为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面Q1PQ2，平面Q2PQ3，…，平面Qk﹣1PQk和平面QkPQ1遍历多面体M的所有以P为公共点的面．（1）如图1，已知长方体A1B1C1D1﹣ABCD，AB＝BC＝1，
，点P为底面A1B1C1D1内的一个动点，则求四棱锥P﹣ABCD在点P处的离散曲率的最小值；（2）图2为对某个女孩面部识别过程中的三角剖分结果，所谓三角剖分，就是先在面部取若干采样点，然后用短小的直线段连接相邻三个采样点形成三角形网格．区域α和区域β中点的离散曲率的平均值更大的是哪个区域？（确定“区域α”还是“区域β”）
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【推荐2】蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示．蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥
，
，
，再分别以
，
，
为轴将
，
，
分别向上翻转
，使
，
，
三点重合为点
所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所示．蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于
减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）．
（1）求蜂房曲顶空间的弯曲度；
（2）若正六棱柱的侧面积一定，当蜂房表面积最小时，求其顶点的曲率的余弦值．
，，，再分别以，，为轴将，，分别向上翻转，使，，三点重合为点所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所示．蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）．（1）求蜂房曲顶空间的弯曲度；
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【推荐3】人类对地球形状的认识经历了漫长的历程．古人认为宇宙是“天圆地方”的，以后人们又认为地球是个圆球.17世纪，牛顿等人根据力学原理提出地球是扁球的理论，这一理论直到1739年才为南美和北欧的弧度测量所证实．其实，之前中国就曾进行了大规模的弧度测量，发现纬度越高，每度子午线弧长越长的事实，这同地球两极略扁，赤道隆起的理论相符．地球的形状类似于椭球体，椭球体的表面为椭球面，在空间直角坐标系下，椭球面
，这说明椭球完全包含在由平面
所围成的长方体内，其中
按其大小，分别称为椭球的长半轴、中半轴和短半轴．某椭球面与坐标面
的截痕是椭圆
.
(1)已知椭圆
在其上一点
处的切线方程为
．过椭圆的左焦点
作直线
与椭圆相交于两点，过点分别作椭圆的切线，两切线交于点，求
面积的最小值．
(2)我国南北朝时期的伟大科学家祖暅于5世纪末提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．祖暅原理用现代语言可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．当
时，椭球面
围成的椭球是一个旋转体，类比计算球的体积的方法，运用祖暅原理求该椭球的体积．
，这说明椭球完全包含在由平面所围成的长方体内，其中按其大小，分别称为椭球的长半轴、中半轴和短半轴．某椭球面与坐标面的截痕是椭圆.(1)已知椭圆
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时，椭球面围成的椭球是一个旋转体，类比计算球的体积的方法，运用祖暅原理求该椭球的体积．
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