【推荐1】已知菱形，为的中点，且，则菱形面积的最大值为_______.

【推荐2】在中，角，，的对边分别为，，，若，边的中线长为1，则的最小值为______．

【推荐3】在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，.则__________﹔若点Р为线段AB上的点，且，则的最大值是_________.

【推荐1】如图，在长方体中，，，M，N分别为BC，的中点，点P在矩形内运动（包括边界），若平面AMN，则取最小值时，三棱锥的体积为______．

【推荐2】已知三棱锥内接于表面积为的球中，面面，，则三棱锥体积为___________.

【推荐3】体积为的四棱锥的底面是边长为的正方形，底面的中心为，四棱锥的外接球球心到底面的距离为，则点的轨迹长度为_______________________．

【推荐1】祖暅，南北朝时代的伟大科学家，他在实践的基础上提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.请同学们借助图1运用祖暅原理解决如下问题：如图2，有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为2的铁球，再注入水，使水面与球正好相切（球与倒圆锥相切效果很好，水不能流到倒圆锥容器底部），则容器中水的体积为_________.
       

【推荐2】已知正四棱锥的顶点均在球的表面上.若正四棱锥的体积为1，则球体积的最小值为______.

【推荐3】如图，直三棱柱中，，棱柱的侧棱足够长，点P在棱上，点在上，且，则当△的面积取最小值时，三棱锥的外接球的体积为___________.

【推荐1】在三棱锥中，，，底面是边长为的等边三角形，则在三棱锥内，半径最大的球的表面积为______．

【推荐2】定义：若，，，为球面上四点，，分别是，的中点，则把以为直径的球称为，的“伴随球”已知，，，是半径为的球面上四点，，则，的“伴随球”的直径取值范围为______；若，，，不共面，则四面体体积的最大值为______．