【推荐1】如图，在五面体中，侧面是正方形，是等腰直角三角形，点是正方形对角线的交点，且．

（1）证明：平面．
（2）若侧面与底面垂直，求五面体的体积

【推荐2】如图，在三棱柱ABC-­A₁B₁C₁中，CA=CB，AA₁=AB=2，∠A₁AB=60°.

（1）求证：AB⊥A₁C；
（2）若平面ABC⊥平面AA₁B₁B，且AC⊥B₁C₁，求该三棱柱的体积.

【推荐3】易拉罐用料最省问题的研究.小明同学最近注意到一条新闻，易拉罐(如图所示)作为饮品的容器，每年的用量可达数万亿个.这让他想到一个用料最优化的问题，即在易拉罐的体积（容积）一定的情况下，如何确定易拉罐的高和半径才能使得用料最省？他研究发现易拉罐的上盖､下底和侧壁的厚度是不同的，进而结合数学建模知识进行了深入研究.以下是小明的研究过程，请回答其中问题.

模型假设：①易拉罐近似看成一个圆柱体，容积一定；②上盖､下底､侧壁的厚度处处均匀；③上盖､下底､侧壁所用金属相同； ④易拉罐接口处的所用材料忽略不计.
(1)建立模型问题1: 填空：记圆柱容积为，高为，底面半径为， 则___________； ①记上盖､下底和侧壁的厚度分别为（底面半径都为），且侧壁展开可看成长方体（长、宽、高分别为），金属用料总量为C（接口材料忽略不计），则 ___________ ；②因为都是常数，不妨设，则由① ②可得用料总量的函数可简化为 _____________(用表示)   ③；
(2)求解模型：问题2：求解当取何值时(用表示)，取得最小值，即用料最省？（写出解答过程）检验模型：小明上网查阅到目前330毫升可乐易拉罐的数据，得知，代入（3）的模型结果，经计算得经验算，确认计算无误，但是这与实际罐体半径差异较大.实际上，在经济利益驱动之下，目前的罐体成本应该已经达最优；
(3)模型评价与改进：问题3：模型计算结果与现实数据存在较大差异的原因可能为_________相应改进措施为__________.
注：只需一条原因及相应改进措施即可

【推荐1】如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，，，若分别为棱上的点，为的中点，且.

(1)求直线与平面所成的角的正弦值；
(2)求点到平面的距离．

【推荐2】如图，在四棱锥中，平面，，，点为的中点.

(1)证明：平面；
(2)若平面平面，且，求直线与平面所成角的正弦值.

【推荐3】如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，，平面平面ABCD.

(1)证明：；
(2)若，点E为棱AD的中点，求直线PE与平面PAB所成角的正弦值.