【推荐1】在平面直角坐标系中，点，分别为椭圆C：的左右焦点，椭圆的离心率为，点在椭圆C上，不在轴上的动点P与动点Q关于原点O对称，且四边形的周长为.
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）在动点P的轨迹上有两个不同的点M，N，线段MN的中点为G，已知点在圆上，求的最大值，并判断此时ΔOMN的形状.

【推荐3】已知椭圆，其中是与无关的实数.

(1)求实数的取值范围；
(2)当时，如图所示，过点的直线与椭圆分别相交于点，过点且斜率为的直线与椭圆相交于点，试探究直线是否恒过定点？若是，求出这个定点坐标；若不是，请说明理由.

【推荐1】已知二次曲线的方程：．
(1)分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件；
(2)若双曲线与直线有公共点且实轴最长，求双曲线方程；
(3)为正整数，且，是否存在两条曲线、，其交点与点满足，若存在，求的值；若不存在，说明理由．

【推荐2】已知二次曲线的方程为：．
(1)如果方程表示椭圆，求的取值范围；
(2)如果方程表示双曲线，求的取值范围；
(3)若，为正整数，是否存在椭圆和双曲线，其交点与两定点，满足，若存在，求出和的值；若不存在，说明理由．

【推荐3】已知点P到圆的切线长与到y轴的距离之比为
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)设曲线C的两焦点为､，试求t的取值范围.使得曲线C上不存在点Q，使.

【推荐1】已知椭圆的上顶点为点，右焦点为.延长交椭圆于点，且满足.
（1）试求椭圆的标准方程；
（2）过点作与轴不重合的直线和椭圆交于两点，设椭圆的左顶点为点，且直线分别与直线交于两点，记直线的斜率分别为，则与之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，试说明理由.

【推荐2】如图，已如椭圆：的右焦点为，点，分别是椭圆的上､下顶点，点是直线：上的一个动点（与轴交点除外），直线交椭圆于另一点.

(1)当直线过椭圆的右焦点时，求的面积；
(2)记直线，的斜率分别为，，求证：为定值.
(3)求的取值范围.

【推荐3】如图，已知椭圆的左、右顶点分别为，，点P是C上的一点（不同于左、右顶点），且直线的斜率与直线的斜率之积为．

(1)求C的方程；
(2)过点作直线的垂线交C于另外一点Q，求面积的最大值．

【推荐1】已知动点到直线的距离是它到点的距离的倍.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设轨迹上一动点满足：，其中是轨迹上的点，且直线与的斜率之积为，若为一动点，，为两定点，求的值.

【推荐2】设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,,动点的轨迹为E．
（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状；
（2）已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且（O为坐标原点）,并求出该圆的方程；
（3）已知,设直线与圆C:（1<R<2）相切于A₁,且与轨迹E只有一个公共点B₁,当R为何值时,|A₁B₁|取得最大值?并求最大值．

【推荐3】已知直线与椭圆相交于两点，与轴，轴分别相交于点和点，且，点是点关于轴的对称点，的延长线交椭圆于点，过点分别作轴的垂线，垂足分别为.
(1)若椭圆的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆上，求椭圆的方程；
(2)当 时，若点平分线段，求椭圆的离心率.