【推荐1】第五届中国国际进口博览会是由商务部和上海市人民政府主办、中国国际进口博览局和国家会展中心（上海）承办的大型博览会.2022年11月4日晚，国家主席习近平以视频方式出席在上海举行的第五届中国国际进口博览会开幕式并发表题为《共创开放繁荣的美好未来》的致辞.11月5日至10日，博览会在国家会展中心（上海）举行，共有145个国家、地区和国际组织参展.在此博览会期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场.已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入80万元，设该公司一年内生产该设备万台，且全部售完，且每万台的销售收入（万元）与年产量（万台）的函数关系式近似满足
(1)写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式；（年利润＝年销售收入－总成本）
(2)当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求最大利润.

【推荐2】（1）若正数，满足，求的最小值；
（2），的取值范围；
（3）；
（4）.

【推荐3】已知定义域为的函数是奇函数.
（1）求的值；
（2）判断并证明函数的单调性；
(3)若存在，不等式有解，求的取值范围.

【推荐1】如图，以菱形ABCD的一边AB所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，已知，．
   
(1)求该几何体的体积；
(2)求该几何体的表面积．

【推荐2】如图，直四棱柱中，四边形为梯形，，且.过三点的平面记为，与的交点为.

(1)证明：为的中点；
(2)求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比.

【推荐3】如图，在直三棱柱中，，，，，点是的中点.

（1）求几何体的体积
（2）求证：平面.

【推荐1】从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点，A是椭圆C与x轴正半轴的交点，直线AP的斜率为，若椭圆长轴长为8．
(1)求椭圆C的方程；
(2)点Q为椭圆上任意一点，求面积的最大值．

【推荐2】已知椭圆：（）的左焦点，椭圆的两顶点分别为，，M为椭圆上除A，B之外的任意一点，直线MA，BM的斜率之积为.

（1）求椭圆的标准方程;
（2）若P为椭圆短轴的上顶点，斜率为的直线不经过P点且与椭圆交于E，F两点，设直线PE，PF的斜率分别为，且，试问直线是否过定点，若是，求出这定点；若不存在，请说明理由.

【推荐3】如图，点在椭圆上，且点到两焦点的距离之和为6.

(1)求椭圆的方程；
(2)设与(为坐标原点)垂直的直线交椭圆于(不重合)，求的取值范围.

【推荐1】某高速公路隧道设计为单向三车道，每条车道宽4米，要求通行车辆限高5米，隧道全长1.5千米，隧道的断面轮廓线近似地看成半个椭圆形状（如图所示）.

(1)若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽至少是多少米？（结果取整数）
(2)如何设计拱高和拱宽，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（结果取整数）
参考数据：，椭圆的面积公式为，其中，分别为椭圆的长半轴和短半轴长.

【推荐2】如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高5米，隧道全长2500米．隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为3米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆．

(1)若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽是多少?（结果精确到0.1米）
(2)若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，则应如何设计拱高和拱宽?（结果精确到0.1米）
以下结论可以直接使用：①椭圆的面积公式．
②柱体的体积为底面积乘以高，，．

【推荐3】一段双行道隧道的横截面边界由椭圆的上半部分和矩形的三边组成，如图所示.

（1）建立适当的直角坐标系，求隧道上半部分所在椭圆的标准方程.
（2）一辆卡车运载一个长方形的集装箱，此箱平放在车上与车同宽，车与箱的高度共计4.2，箱宽为3，若要求通过隧道时，车体不得超过中线，试问这辆卡车是否能通过此隧道？请说明理由.