【推荐1】已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，离心率为且过点，过定点C(－1,0)的动直线与该椭圆相交于A，B两点．
(1)若线段AB中点的横坐标是，求直线AB的方程；
(2)在x轴上是否存在点M，使为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】已知椭圆：经过点，一个焦点的坐标为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线：与椭圆交于，两点，为坐标原点，若，求的取值范围.

【推荐3】已知抛物线（），其准线方程为，直线过点（）且与抛物线交于两点，为坐标原点．
（1）求抛物线方程，并证明：的值与直线倾斜角的大小无关；
（2）若为抛物线上的动点，记的最小值为函数，求的解析式．

【推荐3】已知椭圆的方程为,其离心率,且短轴的个端点与两焦点组成的三角形面积为,过椭圆上的点作轴的垂线,垂足为,点满足,设点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程;
（2）若直线与曲线相切,且交椭圆于两点, ,记的面积为, 的面积为,求的最大值 .

【推荐1】已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，以为直径的圆过焦点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若椭圆的右顶点为，与轴不垂直的直线交椭圆于，两点（，与点不重合），且满足，点为中点，求直线与的斜率之积的取值范围．

【推荐2】已知椭圆过点，且右焦点为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设过定点的直线（与轴不重合）与椭圆交于不同的两点、，且点关于原点的对称点为，，试求的最大值.

【推荐3】如图，椭圆和圆，已知圆将椭圆的长轴三等分，椭圆右焦点到右顶点的距离为，椭圆的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆相交于点A，B．

(1)求椭圆的方程；
(2)若直线分别与椭圆相交于另一个交点为点P，M．求证：直线经过定点．

【推荐1】如图，曲线由两个椭圆：和椭圆：组成，当椭圆，的离心率相等时，称曲线为“猫眼曲线”
   
(1)求椭圆的方程；
(2)任作斜率为且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆所得弦AB的中点为M，交椭圆所得弦CD的中点为N，直线OM、直线ON的斜率分别为、，试问：是否为与k无关的定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由；
(3)若斜率为的直线l为椭圆的切线，且交椭圆于点A，B，N为椭圆上的任意一点（点N与点A，B不重合），求面积的最大值．

【推荐2】已知，是椭圆的左、右焦点，弦经过点，若，，且的面积为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线，与轴交于点，与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求的取值范围．

【推荐3】设椭圆，定义椭圆的“相关圆”方程为.抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，且椭圆短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形.
（1）求椭圆的方程和“相关圆”的方程；
（2）过“相关圆”上任意一点作“相关圆”的切线与椭圆交于两点，为坐标原点.
（i）证明：为定值；
（ii）连接并延长交“相关圆”于点，求面积的取值范围.