1 . 对于某些三角形，我们可以直接用面积公式或是用割补法等来求它们的面积，下面我们研究一种求面积的新方法：如图1所示，分别过三角形的顶点A、C作水平线的铅垂线
、
，、之间的距离d叫做水平宽；如图1所示，过点B作水平线的铅垂线交
于点D，称线段
的长叫做这个三角形的铅垂高；
”．
尝试应用：
已知：如图2，点
、
、
，则
的水平宽为______，铅垂高为______，所以的面积为______．
学以致用：
如图3，在平面直角坐标系中，抛物线的解析式为：
，点B为抛物线的顶点，图象与y轴交于点A，与x轴交于E、C两点，为的铅垂高，延长交x轴于点F，则顶点B坐标为______，铅垂高
______，的面积为______．
、，、之间的距离d叫做水平宽；如图1所示，过点B作水平线的铅垂线交于点D，称线段的长叫做这个三角形的铅垂高；
”．尝试应用：
已知：如图2，点
、、，则的水平宽为______，铅垂高为______，所以的面积为______．学以致用：
如图3，在平面直角坐标系中，抛物线的解析式为：
，点B为抛物线的顶点，图象与y轴交于点A，与x轴交于E、C两点，为的铅垂高，延长交x轴于点F，则顶点B坐标为______，铅垂高______，的面积为______．
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2 . 在平面直角坐标系中，二次函数
的图像与
轴的交点为
，
两点，与
轴交于点
，顶点为
，其对称轴与轴交于点
．
(2)连接
，
，
，试判断
的形状，并说明理由；
(3)点
为第三象限内抛物线上一点，
的面积记为
，求的最大值及此时点的坐标；
(4)在线段上，是否存在点
，使
为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
的图像与轴的交点为，两点，与轴交于点，顶点为，其对称轴与轴交于点．
(2)连接
，，，试判断的形状，并说明理由；(3)点
为第三象限内抛物线上一点，的面积记为，求的最大值及此时点的坐标；(4)在线段
上，是否存在点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
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2023-01-10更新
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256次组卷
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7卷引用：专题10 二次函数与几何问题（一）（六大热点题型归纳）-2024年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（云南专用）
（已下线）专题10 二次函数与几何问题（一）（六大热点题型归纳）-2024年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（云南专用）2019年湖北省恩施市九年级中考第二次适应性考试数学试题湖北省恩施州巴东县神农中小学2022-2023学年九年级上学期12月月考数学试题湖北省恩施州白杨坪乡初级中学2022-2023学年九年级数学上学年第三次月考测试题 （已下线）湖北省恩施州利川市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题变式题21-242023年黑龙江省齐齐哈尔市富裕县九年级下学期五校联考数学试卷山西省朔州市右玉县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题
真题
3 . 如图，二次函数
的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为
，点
是其对称轴上一点，y轴上一点
．
(2)二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结
，
，设点P的横坐标为t，
的面积为S，求S与t的函数关系式；
(3)在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．
的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，y轴上一点．
(2)二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结
，，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式；(3)在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．
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2022-11-04更新
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2639次组卷
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16卷引用：专题12 二次函数与几何问题（三）（四大热点题型归纳）-2024年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（云南专用）
（已下线）专题12 二次函数与几何问题（三）（四大热点题型归纳）-2024年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（云南专用）山东省烟台市海阳市实验中学2023-2024学年九年级下学期期中数学试题山东省泰安市泰山区泰安第六中学2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试题2022年四川省攀枝花市中考数学真题（已下线）综合复习与测试（全册）（2）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）河南省平顶山市宝丰县2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（已下线）专题10 二次函数与平行四边形含矩形菱形正方形的存在性问题-2023年中考数学二轮复习核心考点专题提优拓展训练广东省汕头市潮阳区2022-2023学年九年级上学期期末数学检测卷 2023年山东省淄博市博山区中考一模数学试题2023年山东省德州市平原县中考一模数学试题（已下线）专题17 代几综合压轴-学易金卷：2023年中考数学一模试题分项汇编（山东专用）江西省九江市永修县外国语学校2022-2023学年九年级下学期月考数学试题甘肃省兰州市城关区第五中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（已下线）专题10 二次函数-学易金卷：三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编（四川专用）福建省龙岩市连城县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题广东省惠州市惠阳区竹贤学校初中部2023-2024学年九年级上学期期中数学试题
2022·福建·模拟预测
4 . 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线
经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．
(2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；
(3)如图，OP交AB于点C，
交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为
，
，
．判断
是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．
(2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；
(3)如图，OP交AB于点C，
交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
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2022-06-27更新
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6396次组卷
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27卷引用：专题10 二次函数与几何问题（一）（六大热点题型归纳）-2024年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（云南专用）
（已下线）专题10 二次函数与几何问题（一）（六大热点题型归纳）-2024年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（云南专用）江苏省苏州中学校2024年九年级下学期一模考试数学模拟试题湖南省长沙市浏阳市2023-2024学年九年级下学期期中数学试题2024年江苏省连云港市赣榆区中考第二次模拟数学试题2024年广东省中山一中教育集团九年级中考二模数学试题（已下线）2024年广东省广州市番禺区广东仲元中学附属学校中考二模数学试题（已下线）数学-2024年中考考前最后一课（6）（已下线）2022年福建中考数学真题 2022年福建省中考数学真题（已下线）专题22 与二次函数相关的压轴题-2022年中考数学真题分项汇编（全国通用）（第2期）（已下线）2022年福建省中考数学变式题22-25（已下线）第27章相似03单元测（已下线）二次函数的综合题02小题测江苏省无锡市东林集团2022-2023学年九年级上学期期末数学试题江苏省无锡市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题浙江省金华市义乌市后宅中学2022-2023学年九年级下学期期初数学试题2023年江苏省苏州市九年级数学一模模拟试题鲁教版九年级上册第三章单元测试数学试题2023年江苏省淮安市淮安区中考一模数学试题2023年山东省菏泽市牡丹区第二十二初级中学九年级中考数学二模模拟试题（已下线）专题05 二次函数（压轴题）-学易金卷：5年（2019-2023）中考1年模拟数学真题分项汇编（福建专用）海南省海口市第一中学2022-2023学年九年级下学期期中数学试题湖南省衡阳市成章实验中学2022-2023学年九年级上学期第三次月考数学试题2023年湖南省岳阳市中考一模数学试题福建省福州市平潭第一中学2022~2023学年九年级上学期期末数学试题福建省福州教育学院附属中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（已下线）期中复习（易错50题23个考点）-2023-2024学年九年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（浙教版）
真题
解题方法
5 . 如图，抛物线
（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，
，
，点P为线段
上的动点，过P作
//
交于点Q．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求
面积的最大值，并求此时P点坐标．
（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，，，点P为线段上的动点，过P作//交于点Q．(1)求该抛物线的解析式；
(2)求
面积的最大值，并求此时P点坐标．
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2022-06-27更新
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7927次组卷
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15卷引用：专题10 二次函数与几何问题（一）（六大热点题型归纳）-2024年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（云南专用）
（已下线）专题10 二次函数与几何问题（一）（六大热点题型归纳）-2024年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（云南专用）2023年云南省丽江市中考二模数学试题15-二次函数解析式的确定及图像变换2024年湖南省株洲市茶陵县中考一模数学试题广东省湛江市雷州市第二中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题2024年山东省滨州市初中学业水平考试数学模拟试题（三）2022年广东省中考数学真题（已下线）专题09 二次函数-2022年中考数学真题分项汇编（全国通用）（第2期）（已下线）2022年广东省中考数学变式题20-23（已下线）专题22.44 二次函数中考真题专练（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）山东省烟台市牟平区2022-2023学年九年级上学期期中数学试题（已下线）二次函数的综合题01技法提炼（已下线）专题2.50 二次函数中考真题专练（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）（已下线）专题17二次函数山东省济宁市太白湖新区石桥中学2022-2023学年九年级下学期第二次阶段检测数学试题
6 . 如图，二次函数
的图像与x轴交于点A（
2，0）和点B（4，0），与y轴交于点E，以AB为边在x轴下方作正方形ABCD，点M是x轴上一动点，连接CM，过点M作MN⊥MC，与AD边交于点N，与y轴交于点F．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)在第一象限的抛物线上任取一点P，连接EP、PB，请问：△EPB的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)当点M在线段OB（点M不与O、B重合）上运动至何处时，线段OF的长有最大值？并求出这个最大值．
的图像与x轴交于点A（2，0）和点B（4，0），与y轴交于点E，以AB为边在x轴下方作正方形ABCD，点M是x轴上一动点，连接CM，过点M作MN⊥MC，与AD边交于点N，与y轴交于点F．(1)求该抛物线的表达式；
(2)在第一象限的抛物线上任取一点P，连接EP、PB，请问：△EPB的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)当点M在线段OB（点M不与O、B重合）上运动至何处时，线段OF的长有最大值？并求出这个最大值．
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2022-06-22更新
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171次组卷
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2卷引用：2024年云南省中考数学考前信息必刷模拟预测题04
7 . 如图，直线y
x＋4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2
x＋c经过B、C两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标；
(3)在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
x＋4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2x＋c经过B、C两点．(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标；
(3)在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
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2022-03-02更新
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1661次组卷
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20卷引用：2024年云南省初中学业水平考试数学模拟试题
2024年云南省初中学业水平考试数学模拟试题2024年云南省初中学业水平考试数学仿真模拟训练模拟预测题2024年山东省青岛市中考数学一模模拟试题2024年山东省菏泽市鲁西新区中考二模数学试题2024年山东省菏泽市牡丹区中考二模数学试题四川省成都市青羊区2017-2018学年中考一诊数学试题2018年山东省临沂市兰陵县中考数学二模试卷河南省洛阳市新安县2018-2019学年九年级上学期期末数学试题（已下线）【万唯】河南省2018-2019年初中学业水平数学模拟考题 《逆袭卷3》2020年河南省郑州市市直学校中考数学一模试题（已下线）【万唯原创】2019年河南省中考数学逆袭卷3（已下线）专题06 二次函数与平行四边形存在性问题-挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘2019年山东省临沂市罗庄区中考二模数学试题山东省济南市东南片区2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试题山东省济南市历城区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（已下线）专题02 二次函数（知识串讲+热考题型+真题训练）-2023-2024学年九年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（人教版）（已下线）2023年四川省广安市中考数学真题变式题22-26题山东省济宁市曲阜市杏坛中学2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题山东省青岛市崂山区2023-2024学年九年级上学期期末数学模拟试题山东省济南市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题
8 . 如图，已知抛物线的顶点C的坐标为
，此抛物线交x轴于点A，B两点，点P为直线AD上方抛物线上一点，过点P作
轴垂足为E，连接AP，PD．
(2)求线段PN的最大值；
(3)当
的面积是的面积的
时，求点P的坐标．
的顶点C的坐标为，此抛物线交x轴于点A，B两点，点P为直线AD上方抛物线上一点，过点P作轴垂足为E，连接AP，PD．
(2)求线段PN的最大值；
(3)当
的面积是的面积的时，求点P的坐标．
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2022-02-25更新
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135次组卷
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2卷引用：云南省楚雄彝族自治州楚雄市楚雄天人初级中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题
9 . 已知关于x的一元二次方程﹣
+ax+a+3＝0．
(1)求证：无论a为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)如图，若抛物线y＝﹣+ax+a+3与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C，连结BC，BC与对称轴交于点D．
①求抛物线的解析式及点B的坐标；
②若点P是抛物线上的一点，且点P位于直线BC的上方，连接PC，PD，过点P作PN⊥x轴，交BC于点M，求△PCD的面积的最大值及此时点P的坐标．
+ax+a+3＝0．(1)求证：无论a为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)如图，若抛物线y＝﹣
+ax+a+3与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C，连结BC，BC与对称轴交于点D．①求抛物线的解析式及点B的坐标；
②若点P是抛物线上的一点，且点P位于直线BC的上方，连接PC，PD，过点P作PN⊥x轴，交BC于点M，求△PCD的面积的最大值及此时点P的坐标．
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真题
解题方法
10 . 如图，抛物线经过点
、
、
．
（2）点
是抛物线上的动点，当
时，试确定m的值，使得
的面积最大；
（3）抛物线上是否存在不同于点B的点D，满足
，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
、、．
（2）点
是抛物线上的动点，当时，试确定m的值，使得的面积最大；（3）抛物线上是否存在不同于点B的点D，满足
，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
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2020-07-25更新
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2104次组卷
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5卷引用：2024年云南省初中学业水平考试数学模拟预测题(三)
2024年云南省初中学业水平考试数学模拟预测题(三)湖南省娄底市2020年中考数学试题（已下线）重难点07（1） 函数类综合问题-2021年中考数学【热点·重点·难点】专练2021年山东省枣庄市台儿庄区二调数学试题2021-2022学年人教版九年级数学上册 第22章 二次函数 单元能力提升训练
