3 . 喜欢思考问题的小明在探究直角三角形斜边的中线，他的思路是：在中，先作出直角边的垂直平分线，并猜测它与斜边的交点是中点，于是他把交点与点C连接，通过垂直平分线的性质以及等角对等边的代换，他发现了直角三角形斜边的中线与斜边的数量关系．
(1)请根据小明的思路完成以下作图与填空：
①用尺规作图作的垂直平分线交于点，垂足为点，连接；（保留作图痕迹，不写作法）
②已知：在中，，垂直平分，垂足为点．求证：．

证明：垂直平分，
______．
．
在中，，
，______．
．
______．
．
．
(2)通过探究，小明发现直角三角形均有此特征，由此解决以下问题：若的周长为12，，，则边上的中线长为______．

4 . 如图，在中，，，点O为边中点，以点O为圆心的圆与相切于点D．

(1)求证：是的切线；
(2)判断圆心O与点C及两切点为顶点的四边形的形状并证明．

6 . 在学习了平行四边形后，小王进行了拓展研究，他发现如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形被所作垂直平分线分成面积相等的两部分，他的解决思路是证明所作线构成的三角形全等得出结论．请根据他的思路完成以下作图和填空：

(1)用直尺和圆规完成作图：作的垂直平分线，交于点，交于点，垂足为点．（只保留作图痕迹）．
(2)在（）中所作的图形中，四边形是平行四边形，是对角线，垂直平分，垂足为点，形状，求证：四边形与四边形面积相等．
证明：四边形是平行四边形
，，，
，
，
_______________，
垂直平分，
________________，
________________，
，
四边形面积面积，
四边形面积面积，
四边形面积四边形面积．
小王进一步探究发现，过平行四边形对角线中点的任意直线与平行四边形所构成的图形均此特征，请依照题意完成下面命题：
过平行四边形对角线中点的直线____________．

7 . 如图1，是的直径，是上一点，于，是延长线上一点，连接，，是线段上一点，连接并延长交于点．

(1)求证：是的切线；
(2)若，求证：；
(3)如图2，若，，点是的中点，与交于点，连接．请猜想，，的数量关系，并证明．

8 . 【问题初探】
（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在等腰中， ，点D 在边上，连接，将线段绕点 D 顺时针旋转得到线段，连接．求证： ．
①如图2，小明同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取 连接，将线段与之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系．
②如图3，小亮同学从条件的角度出发，过E作交的延长线于点 G，将线段与之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．

【类比分析】
（2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将要证明的线段进行转化，为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换，并提出下面的问题，请你解答．
如图4，在等腰中，点D 在边上，连接，将线段绕点 D 逆时针旋转得到线段，连接交边于点 F，求证： ．

【类比分析】
（3）如图5，在矩形中，，点E、F分别在边上， ，连接，求线段的长．