1 . 在等腰中，，点在延长线上，以为边，在上方作任意，连接交于点．

   

(1)如图1，若，点为中点，，，求的长；
(2)如图2，点在的延长线上，连接，若，，，求证：；
(3)如图3，，，点是平面内直线下方一动点，始终满足．点为直线上一点，连接，满足，延长至点，使得.点为直线上一点，连接，将沿翻折至所在平面内得到，连接、，当最小时，直接写出的面积．

3 . 和均为等腰直角三角形，，点在直线上，点在右侧，连接、，直线分别交、于点、点．

(1)如图1，点在的左侧，点为中点，若，，求的长度；
(2)如图2，点在边上，连接、．若点为的中点，探究与的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图3，若，点在边上，过点作交的延长线于点，连，当取得最小值时，将绕点顺时针旋转（）得到，连接，点在上，满足，连接，将沿着直线翻折得到，连接，当取最大值时，请直接写出的面积．

5 . 共共享单车创业公司小黄车在运营过程中，公司的保障团队需要采购自行车零部件，其中1个自行车座和2个自行车锁共需40元；2个自行车座和3个自行车锁共需68元．
(1)求1个自行车座和1个自行车锁各需多少元？
(2)OFO公司购买自行车锁的数量比购买自行车座数量的多500个，因购买数量较大，卖家全部打八折优惠，总费用不超过40000元，那么最多可买多少个自行车座？

6 . 已知：等边，点和点在直线的异侧，且，于点．

(1)如图1，若，，求的长；
(2)如图2，取中点，连接，试探究三条线段的数量关系并证明你的结论；
(3)如图3，在（2）的条件下，当最小时，在线段上取点，在射线上取点，使，连接，射线交延长线于点．当最小时，请直接写出的值．

7 . 端午节临近，粽子逐渐热销．某超市购进A，B两款粽子进行销售．
(1)已知一袋B款粽子的售价比一袋A款粽子的售价的两倍少20元，小才的妈妈买了4袋A款粽子和3袋B款粽子一共花费290元，则A，B两款粽子的销售单价分别是多少元？
(2)已知该超市购进A，B两款粽子共100袋，其中一袋A款粽子和一袋B款粽子的成本之比为5：8，该超市花费1000元购买A款粽子，2400元购买B款粽子，则该超市购进B款粽子多少袋？

8 . 六一儿童节快到了，阳光大草坪举行露营活动，如图为草坪的平面示意图．入口在点，露营基地在点．经勘测，入口在点的正北方向，点在入口的南偏东方向800处，且在点的正东方向，点在点的东北方向，点在点的北偏东方向200处，且在点的正南方向．（参考数据）

(1)求的长度；（结果保留根号）
(2)小聪从入口处进入前往露营基地点．小聪可以选择鹅卵石步道①，步行速度为50米/分，也可以选择塑胶步道②，步行速度为60米/分，请通过计算说明他选择哪一条步道所用时间较少？

9 . 如图，长方形和长方形共同组成一个六边形，其中，点E是的中点．点P以每秒2个单位的速度从点A出发，沿方向运动，到达G点后停止运动．设点P的运动时间为t秒（）．

(1)在点P的运动过程中，使得直线刚好平分六边形的周长，求出t的值；
(2)设的面积为S，试用含t的代数式表示S．（直接写出结果）