1 . 如图，是的直径，点在上，点为弧的中点，过点作，交的延长线于点，延长、相交于点．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求．

2 . 图（1）为某大型商场的自动扶梯、图（2）中的为从一楼到二楼的扶梯的侧面
示意图．小明站在扶梯起点处时，测得天花板上日光灯的仰角为37°，此时他的眼睛与地面的距离，之后他沿一楼扶梯到达顶端后又沿（）向正前方走了，发现日光灯刚好在他的正上方．已知自动扶梯的坡度为，的长度是．（结果精确到十分位．参考数据：，，，）

(1)求图中到一楼地面的高度；
(2)求日光灯到一楼地面的高度．

3 . 已知点是正方形内部一点，且，连接并延长交于点，若时，的值为______．

4 . 如图，已知点、，点在轴上运动．将绕顺时针旋转45°得到，则的最小值为______．

5 . 如图，点D是等边边上一点，，连接，将沿翻折得到，若以D为圆心，为半径的圆经过一边的中点，则的半径是__________．

6 . 如图，矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在上，且，反比例函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，顺次连接点D、O、M．若的面积为4，则k的值为______．

7 . 如图，已知抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点．

   

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，当点在直线上方的抛物线上时，连接、，交于点，若，求的取值范围；
(3)已知是直线上一动点，将点绕着点旋转得到点，若点恰好落在二次函数的图像上，请直接写出点的坐标．

9 . 在苏科版义务教育教科书数学七下曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：

(1)【问题再现】如图1，在中，、的角平分线交于点P，若．则______；
(2)【问题推广】如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，若，求的度数．
(3)如图3，在中，、的角平分线交于点P，将沿DE折叠使得点A与点P重合，若，则______；
(4)【拓展提升】在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接，、的角平分线交于点Q，若，，求和，之间的数量关系．

10 . 如图，和交于点，，．求证：．