1 . 【阅读】求值．
解：设，
将等式①的两边同时乘以2得：，
由得：．
即：．
(1)【运用】仿照此法计算：；
(2)【延伸】如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形，依次操作2022次，依次得到小正方形、、、…、，完成下列问题：
①小正方形的面积等于__________；
②求正方形、、、…、的面积和．

2 . 【阅读】求值1＋2＋2²＋2³＋2⁴＋…＋2¹⁰
解：设S＝1＋2＋2²＋2³＋2⁴＋…＋2¹⁰①
将等式①的两边同时乘以2得：2S＝2＋2²＋2³＋2⁴＋2⁵＋…＋2¹¹②
由②﹣①得：2S﹣S＝2¹¹﹣1
即：S＝1＋2＝2²＋2³＋2⁴＋…＋2¹⁰＝2¹¹﹣1
【运用】仿照此法计算：
(1)1＋3＋3²＋3³＋3⁴＋…＋3⁵⁰；
(2)
(3)【延伸】如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为S₁，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形S₂，依次操作2022次，依次得到小正方形S₁、S₂、S₃、…、S₂₀₂₂
完成下列问题：

①小正方形S₂₀₂₂的面积等于 ；
②求正方形S₁、S₂、S₃、…、S₂₀₂₂的面积和．

4 . 观察下列各式：，，，，，…
(1)请猜想出表示上面各式的特点的一般规律，用含n（n表示正整数）的等式表示出来___．
(2)请利用上述规律计算：．（n为正整数）
(3)请利用上述规律，解方程：．

5 . 阅读材料．
我们知道，1+2+3+…+n=，那么1²+2²+3²+…+n²结果等于多少呢？
在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即1²，第2行两个圆圈中数的和为2+2，即2²，…；第n行n个圆圈中数的和为n+n+n+…+n，即n²．这样，该三角形数阵中共有个圆圈，所有圆圈中数的和为1²+2²+3²+…+n²．

【规律探究】
将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第n﹣1行的第一个圆圈中的数分别为n﹣1，2，n），发现每个位置上三个圆圈中数的和均为　 　，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为3（1²+2²+3²+…+n²）=　 　，因此，1²+2²+3²+…+n²=　 　．
【解决问题】
根据以上发现，计算：的结果为　 　．

6 . 如图，在中， cm，，点P从点A出发，以的速度沿 向终点B运动，过点P作于Q，当点P不与点A、B重合时，以线段 为边向右作长方形 ，使 ．在运动过程中 与 三条线段的比始终是．设长方形 与的重叠部分面积为S，点P的运动时间为t（s）．

(1)线段 的长为______cm；线段 的长为______cm（均用含t的式子表示）；
(2)当点N落在 边上时，求t的值；
(3)用含t的式子表示S，并写出t的取值范围．（请直接写出结果．）

7 . 规定“g”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1），，，，……
（2），，，，……
利用以上规律计算：①______；
②根据（1）的规律求______（n为正整数）．

8 . 如图，将边长为的正方形纸片剪去一个边长为a的正方形后，剩余部分可剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，请解答下列问题：

(1)分别计算剪拼后所得的长方形的周长和面积（用含a的代数式表示）；
(2)若将剪拼后的长方形的长减少4，宽增加4，所得的新长方形的面积恰好等于原长方形的面积，求a的值．