4 . 某商场为了促销，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？
问题建模：
从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取个整数，这a个整数之和共有多少种不同的结果？
模型探究：
我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．
探究一：①从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？
表①

所取的2个整数	1，2	1，3	2，3
2个整数之和	3	4	5

如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．
②从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？
表②

所取的2个整数	1，2	1，3	1，4	2，3	2，4	3，4
2个整数之和	3	4	5	5	6	7

如表②，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果．
③从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果．
④从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果．
探究二：
①从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果．
②从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果．
探究三：从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有______种不同的结果．
归纳结论：从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取个整数，这a个整数之和共有______种不同的结果．
问题解决：从100张面值分别为l元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共有______种不同的优惠金额．
拓展延伸：
①从l，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取6个整数，使得取出的这些整数之和共有2023种不同的结果？（写出解答过程）
②从3，4，5，…，（n为整数，且）这个整数中任取个整数，这a个整数之和共有______种不同的结果．

7 . 如图，将一张边长为1的正方形纸片，剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如此循环进行下去……．
   
(1)探究：完成下表

剪的次数	1	2	3	4	5	…	100	n
正方形个数	4	7	10			…

(2)拓展：如果剪了n次，小正方形的边长是多少？（用含n的式子表示）

8 . 【问题提出】
相传古印度一座梵塔圣殿中铸有一片巨大的黄铜板，之上树立了3根宝石柱，如果将这64个金盘按上述要求全部从1柱移动到3柱，但是每次只能移动1个金属片，且较大的金属片不能放在较小的金属片上面．则至少需要移动多少次？
【问题探究】
为了探究规律，我们采用一般问题特殊化的方法，先从简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性结论．
设是把n个金盘从1柱移动到3柱过程中的最少移动次数．
探究一：当时，显然．
探究二：当时，如图①所示．

探究三：当时，如图②所示．

探究四：当时，先用的方法把较小的3个金盘移动到2柱，再将最大金盘移动到3柱，最后再用的方法把较小的3个金盘从2柱移动到3柱，完成，即__________．
探究五：当时，仿照“问题探究”中的方法，将6个金盘按要求全部从1柱移动到3柱，至少需要多少次？（写出必要的计算过程．）
【结论归纳】
若将x个金盘按要求全部从1柱移动到3柱，至少需要移动a次；将个金盘按要求全部从1柱移动到3柱，至少需要移动次__________（用含a的代数式表示）．
【问题解决】
若将64个金盘按上述要求全部从1柱移动到3柱，至少需要移动__________次．
【拓展延伸】
若在原来游戏规则的基础上，再添加1个条件：每次只能将金盘向相邻的柱子移动（即：2柱的金盘可以移动到1柱或3柱，但1柱或3柱的金盘只能移动到2柱），则移动完64个金盘至少需要移动__________次．

10 . 观察与思考：我们知道，那么结果等于多少呢？请你仔细观察，找出下面图形与算式的关系，解决下列问题：

   

(1)尝试：第5个图形可以表示的等式是        ；
(2)概括：＝        ；
(3)拓展应用：求的值．