名校
1 . 观察以下等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
……
按照以上规律，解决下列问题．
(1)写出第6个等式：______．
(2)写出第
个等式（用含n的式子表示），并证明．
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
……
按照以上规律，解决下列问题．
(1)写出第6个等式：______．
(2)写出第
个等式（用含n的式子表示），并证明．
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名校
2 . 规律探索题：有一系列等式
；
；
；
；
(1)根据你的观察，归纳，发现规律，得到：
______；
(2)试猜想：
______；
(3)试说明（2）中猜想的正确性．
；；；；(1)根据你的观察，归纳，发现规律，得到：
______；(2)试猜想：
______；(3)试说明（2）中猜想的正确性．
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3 . 学习二次根式后，小晨在自己日常运算过程中，多次遇到所得结果的被开方数为根式的情况，为使计算结果最简，小晨对这一题型进行了探究发现并总结了以下规律：化简 
如果你能找到两个数
，
，使 
且 
则 
从而化简 
例如：
(1)根据以上规律完成以下化简．
，
(2)若
且，
，均为正整数，则
．
如果你能找到两个数，，使 且 则 从而化简 例如：
(1)根据以上规律完成以下化简．
，(2)若
且，，均为正整数，则 ．
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4 . 观察下面的算式：
．
；
，
，
(1)请你写出
个与上述算式具有相同规律的算式；
(2)用字母表示数，写出上述算式反映的规律，并加以证明．
．；，，(1)请你写出
个与上述算式具有相同规律的算式；(2)用字母表示数，写出上述算式反映的规律，并加以证明．
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名校
5 . 李老师在计算下列式子时发现了一些规律．
；
；
；
．．．．．．．
对第n个式子进行猜想得_________．
下面开始对猜想进行证明．
（依据：乘法交换律、乘法结合律）
下面请继续完成猜想的证明．
；；；．．．．．．．
对第n个式子进行猜想得
_________．下面开始对猜想进行证明．
（依据：乘法交换律、乘法结合律）下面请继续完成猜想的证明．
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6 . 分解下列因式：
，
，
．
（1）观察上述三个多项式的系数，有
，
，
，于是小明猜测：若多项式
是完全平方式，那么系数、、
之间一定存在某种关系．请你用数学式子表示小明的猜想： _______ ；
（2）若多项式
和
都是完全平方式，利用（2）中的规律求
的值是_______ ．
，，．（1）观察上述三个多项式的系数，有
，，，于是小明猜测：若多项式是完全平方式，那么系数、、之间一定存在某种关系．请你用数学式子表示小明的猜想： （2）若多项式
和都是完全平方式，利用（2）中的规律求的值是
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7 . （1）代入求值：当
，
时，
______；
______；
当
，
时，______；______；
（2）从（1）中你发现什么规律？利用你的发现，求当
，
时，代数式
的值．
，时，______；______；当
，时，______；______；（2）从（1）中你发现什么规律？利用你的发现，求当
，时，代数式的值．
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名校
8 . 仔细观察下列各式：
第1个等式：
；
第2个等式：
；
第3个等式：
；
请你根据以上规律，解决下列问题：
(1)写出第4个等式：___________；
(2)写出第（为正整数）个等式，并证明等式成立．
第1个等式：
；第2个等式：
；第3个等式：
；请你根据以上规律，解决下列问题：
(1)写出第4个等式：___________；
(2)写出第
（为正整数）个等式，并证明等式成立．
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9 . 阅读与思考
下面是小明同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．
任务：
(1)请补充完整小明的日记：①______，②______，③______，④______，⑤______；
(2)解决问题：若多项式
是一个完全平方式，利用以上结论求出n的值．
(3)除因式分解外，初中数学还有许多知识的学习中也用到了完全平方公式，例如：用配方法解一元二次方程．请你再举出一例．
下面是小明同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．
| ×年×月×日 星期六 关于完全平方式的思考 完全平方公式在代数式学习的过程中运用非常广泛．今天我在复习因式分解时也运用到了这一公式，并且我和同桌王华都有新的发现： 练习：将下列各式因式分解：  ① ； ② ；我的探索发现：观察以上两个多项式的系数，发现了如下规律：  ； 若多项式  是完全平方式，则系数a，b，c之间存在的关系式为 ③ ；王华的探索发现： 若多项式 是完全平方式，也可以看作是一元二次方程 根的情况为 ④ 时；还可以看作抛物线 与x轴有 ⑤ 个交点时．数学真是魅力无穷！知识之间存在许多关联，平日我们要多探索与体会． |
(1)请补充完整小明的日记：①______，②______，③______，④______，⑤______；
(2)解决问题：若多项式
是一个完全平方式，利用以上结论求出n的值．(3)除因式分解外，初中数学还有许多知识的学习中也用到了完全平方公式，例如：用配方法解一元二次方程．请你再举出一例．
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2023-04-04更新
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119次组卷
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3卷引用：2023年山西省晋中市榆次区中考一模数学试卷
22-23八年级上·全国·单元测试
名校
解题方法
10 . 有一系列等式：
；
；
；
；
……
(1)根据你的观察、归纳发现的规律，写出
的结果为 ．
(2)试猜想
是哪一个数的平方，并予以证明．
；；；；……
(1)根据你的观察、归纳发现的规律，写出
的结果为 ．(2)试猜想
是哪一个数的平方，并予以证明．
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