1 . 先阅读下面的例题,再按要求解答问题:
求代数式
的最小值.
解:
,
,![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/67b9873536f62c8bd88799bbbe038499.png)
的最小值是1
请利用以上方法,解答下列问题:
(1)求代数式
的最小值.
(2)判断代数式
有最大值还是有最小值,并求出该最值.
(3)已知
,
为任意值,试比较
与
的大小关系,并说明理由.
求代数式
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3ac0468d0f1b517d6a1e992e675995e3.png)
解:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3079698c362ee1cfee9fc530e89b7230.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0e5fbd8462ccf42d619c2f55501d11ec.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/67b9873536f62c8bd88799bbbe038499.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/63f3dcfa128edaca0f10ede08610f596.png)
请利用以上方法,解答下列问题:
(1)求代数式
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/953d6e8f8541c10ecdf7d511a3b0b4fa.png)
(2)判断代数式
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/36f3cfd88487910e75f0293c17450ebe.png)
(3)已知
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0a6936d370d6a238a608ca56f87198de.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2c94bb12cee76221e13f9ef955b0aab1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81c2e2a75a2180f5039a0124a1a00af6.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/690f88da83f4e87727e436923a328c07.png)
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23-24八年级上·湖北·周测
2 . (1)根据小明的解答将下式因式分解:
.
小明的解答:
.
(2)根据小丽的思考解决下列问题:
小丽的思考:代数式
无论
取何值,
,则
,所以
有最小值为4.请仿照小丽的思考解释代数式
的最大值为8.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ff419dd3fd431e071b064d4c1b999187.png)
小明的解答:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b1947d221a2fc0086cc84ef0ef71b928.png)
(2)根据小丽的思考解决下列问题:
小丽的思考:代数式
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/fa23743ff0fb799eafc30ba500885393.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0a6936d370d6a238a608ca56f87198de.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/cecfad50a9308786275fbed3d7862dbc.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f702bd2a7113d5bbd3e87cf67a10afdc.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/fa23743ff0fb799eafc30ba500885393.png)
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3 . 阅读理解:求代数式
的最小值.
解:![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ecf014b5bd5df4a931dcbd2f95257725.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ce97ba2aca2a3f44099a402c4e2e7f87.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/45b9e3b04c459b164cbba293df180464.png)
当
,即
时,
的最小值是5.
请仿照应用:
(1)求代数式
的最小值;
(2)某养殖场要将一块长为8米宽为4米的矩形养殖区域进行改造,使得长减少x米,宽增加
米,请问:当
取何值时,矩形区域的面积
最大?最大值是多少?
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4eba52ed838488de31185af5cd6480f1.png)
解:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ecf014b5bd5df4a931dcbd2f95257725.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ce97ba2aca2a3f44099a402c4e2e7f87.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/45b9e3b04c459b164cbba293df180464.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2de0d10ef8b748d4531250c37c5d3f9e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b12dab697596b2417f0f2e945113bc40.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9b27aee52676f4237adac068fe745fde.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bd19c0143ca32893a161a1b0ff118124.png)
请仿照应用:
(1)求代数式
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/da520b4352efda15411f3a87ab4fb5cf.png)
(2)某养殖场要将一块长为8米宽为4米的矩形养殖区域进行改造,使得长减少x米,宽增加
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/cf231f8f86fb922df4ca0c87f044cec3.png)
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4 . 教科书中这样写道:“形如
的式子称为完全平方式”,如果一个多项式不是完全平方式,我们常做如下变形:先添加一个适当的项,使式子中出现完全平方式,再减去这个项,使整个式子的值不变,这种方法叫做配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法,不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式,还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题.
例如:分解因式:
.
解:原式
;
再如:求代数式
的最小值.
解:![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3be525ac5ad744f873c0b07158dc9591.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/30b71eed9984e46e71a02618af13e598.png)
∵
,∴原式
,
即当
时,原式有最小值
.
学以致用:
(1)用配方法分解因式:
;(其他方法不得分)
(2)用配方法求多项式
的最大值?并求出此时x的值.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e497fe36c69d28917c3eb8ba43d19f19.png)
例如:分解因式:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/527ed5ec08bfac2d403309c2ee8256b6.png)
解:原式
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d85042a397f77cbf1922699e010d1e62.png)
再如:求代数式
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/66a0e6a1abebd0e654515ae5872c2454.png)
解:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3be525ac5ad744f873c0b07158dc9591.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/30b71eed9984e46e71a02618af13e598.png)
∵
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4c9618079205238a51647d08204a11a2.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7333546b48ccc17a0cf7685db61a0d58.png)
即当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ef00713e73b8357cc7900144f5505bc6.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6b9a5f1362c12e1ea8f6fc0d9d787ac.png)
学以致用:
(1)用配方法分解因式:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4752d191ccfbb574240e3b1fd991271c.png)
(2)用配方法求多项式
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/45793277756635287e7d2df1741c79c6.png)
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2023-10-18更新
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131次组卷
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2卷引用:山东省济宁市第十五中学2023-2024学年九年级上学期数学阶段性测试题
5 . 教科书中这样写道:“形如
的式子称为完全平方式”,如果一个多项式不是完全平方式,我们常做如下变形:先添加一个适当的项,使式子中出现完全平方式,再减去这个项,使整个式子的值不变,这种方法叫做配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法,不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式,还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题.
例如:分解因式:
.
解:原式
;
再如:求代数式
的最小值.
解:
.可知当
时,
有最小值,最小值是
.
根据阅读材料,用配方法解决下列问题:
(1)分解因式:
__________.(直接写出结果)
(2)当x为何值时,多项式
有最大值?并求出这个最大值.
(3)利用配方法,尝试求出等式
中a,b的值.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e497fe36c69d28917c3eb8ba43d19f19.png)
例如:分解因式:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/527ed5ec08bfac2d403309c2ee8256b6.png)
解:原式
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/729691493e3935f1aed3d60165bc0858.png)
再如:求代数式
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/66a0e6a1abebd0e654515ae5872c2454.png)
解:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a37bb0af6efd21cf43703c45fe35f231.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9e1c84057882768f20a01365c81b6760.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/66a0e6a1abebd0e654515ae5872c2454.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8bf3d3564c61e5e9c39a9e2cf2de048b.png)
根据阅读材料,用配方法解决下列问题:
(1)分解因式:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/76c3f7584850485684c752babd972fbc.png)
(2)当x为何值时,多项式
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/80cc7055bf4ee6b7c4239c9139573ae1.png)
(3)利用配方法,尝试求出等式
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/263089efab56f605d6ab8c4b19d35145.png)
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名校
6 . 教材中这样写道:“我们把多项式
及
叫做完全平方式”,如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式,我们常做如下变形:先添加一个适当的项,使式子中出现完全平方式,再减去这个项,使整个式子的值不变,这种方法叫做配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法,不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式,还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值,最小值等.
例如:分解因式
,
原式:
.
根据阅读材料用配方法解决下列问题:
(1)分解因式:
;
(2)求代数式
的最小值;
(3)当a,b,c分别为
的三边时,且满足
时,判断
的形状并说明理由.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b50ff152b247b7fd38e5482a8e3c965f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ea873dd83b01dcdd9071a19d8899fce5.png)
例如:分解因式
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/527ed5ec08bfac2d403309c2ee8256b6.png)
原式:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a6775321a2d366ddc8950a658c02cd04.png)
根据阅读材料用配方法解决下列问题:
(1)分解因式:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/91e83d324bf19308e5faa777288468d4.png)
(2)求代数式
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/14ce239e45dc944ad14c683942cb20f6.png)
(3)当a,b,c分别为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/15c0dbe3c080c4c4636c64803e5c1f76.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4a5ff9bc0e8ae43b5b86e948817a6b01.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/15c0dbe3c080c4c4636c64803e5c1f76.png)
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7 . 阅读材料:我们把多项式
及
这样的式子叫做完全平方式
如果一个多项式不是完全平方式,我们常做如下变形:先添加一个适当的项,使式子中出现完全平方式,再减去这个项,使整个式子的值不变,这种方法叫做配方法,配方法是一种重要的解决问题的数学方法,不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式,还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等.
例如:分解因式
.
原式
.
根据以上材料,利用多项式的配方解答下列问题.
(1)利用配方法分解因式:
;
(2)当
为何值时,多项式
有最小值,并求出这个最小值;
(3)已知正数
,
,
满足
,求
.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b50ff152b247b7fd38e5482a8e3c965f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ea873dd83b01dcdd9071a19d8899fce5.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c90282d4a37c9a20620d4bbb0c263cae.png)
例如:分解因式
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/527ed5ec08bfac2d403309c2ee8256b6.png)
原式
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/adf10d2cbf6cd7ac050d7b97ae89e1ef.png)
根据以上材料,利用多项式的配方解答下列问题.
(1)利用配方法分解因式:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b8a4da34d9d65f0c6b26df2872106f04.png)
(2)当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/cc1c0b0616d86337a39b97ba25eb90d5.png)
(3)已知正数
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0a6936d370d6a238a608ca56f87198de.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2c94bb12cee76221e13f9ef955b0aab1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/071a7e733d466949ac935b4b8ee8d183.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f2671ae30f92746099d1f7d51f950f90.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1ae24688d4c45aad43e9af0b7bbfda6b.png)
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2023-08-05更新
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137次组卷
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3卷引用:湖南省常德市2022-2023学年七年级下学期期中数学试题
8 . 浙教版数学课本七下第四章《因式分解》4.3“用乘法公式分解因式”中这样写到,“我们把多项式
及
叫做完全平方式”,如果一个多项式不是完全平方式,我们常做如下变形:先添加一个适当的项,使式子中出现完全平方式,再减去这个项,使整个式子的值不变,这种方法叫做配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法,不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式,还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等.例如:
分解因式:
;
求
的最小值:
,
可知,当
时,代数式
有最小值,最小值是
.
根据阅读材料,解决下列问题:
(1)分解因式:
;
(2)求代数式
的最小值;
(3)晓静同学求得代数式
的最小值为
.请问晓静同学的答案是否正确.若正确,请写出取最小值时的
的值;若不正确,请直接写出正确的最小值.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b50ff152b247b7fd38e5482a8e3c965f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ea873dd83b01dcdd9071a19d8899fce5.png)
分解因式:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/51156cd7e7c51cd686470e5bc97d44fd.png)
求
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/66a0e6a1abebd0e654515ae5872c2454.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9e620de573ecbd05611067944daa74ad.png)
可知,当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ef00713e73b8357cc7900144f5505bc6.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/66a0e6a1abebd0e654515ae5872c2454.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6b9a5f1362c12e1ea8f6fc0d9d787ac.png)
根据阅读材料,解决下列问题:
(1)分解因式:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/911382029cf500b32a3ab411c9e47163.png)
(2)求代数式
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7378df15a1125a298967b98c2e320aa4.png)
(3)晓静同学求得代数式
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4a9907e9f15f3f6696d787d87cc76e08.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3edbd40e04e2a943051fa83d6e511add.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9b0fffbec1fe851795dfdd448bf0d165.png)
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9 . 我们把多项式
及
叫做完全平方式.如果一个多项式不是完全平方式,我们常做如下变形:先添加一个适当的项,使式子中出现完全平方式,再减去这个项,使整个式子的值不变,这种方法叫做配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法,不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式,还能解决一些非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等.
例如:分解因式
;例如求代数式
的最小值.由
可知,当
时,
有最小值,最小值是
.
根据阅读材料用配方法解决下列问题;
(1)分解因式:
______;
(2)当a,b为何值时,多项式
有最小值,并求出这个最小值;
(3)当a,b为何值时,多项式
有最小值,并求出这个最小值.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b50ff152b247b7fd38e5482a8e3c965f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ea873dd83b01dcdd9071a19d8899fce5.png)
例如:分解因式
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5feb619a37bf688ed538181664cdfb42.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/66a0e6a1abebd0e654515ae5872c2454.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/77d28e22c511b4c4df332d704e910f47.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/99c6875d552e9fff3c7d655f3a59b166.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/66a0e6a1abebd0e654515ae5872c2454.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8bf3d3564c61e5e9c39a9e2cf2de048b.png)
根据阅读材料用配方法解决下列问题;
(1)分解因式:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4db93f545b682ad133bbe486d5c80bf0.png)
(2)当a,b为何值时,多项式
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1e51c4f8561effbb97ddc3d77f03d854.png)
(3)当a,b为何值时,多项式
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2877b8d5e471b45a34bd22bed2fcbc4e.png)
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10 . 阅读材料:我们把多项式
及
叫做完全平方式.如果一个多项式不是完全平方式,我们常做如下变形:先添加一个适当的项,使式子中出现完全平方式,再减去这个项,使整个式子的值不变,这种方法叫做配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法,不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式,还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值,最小值等.
例如:分解因式:
;
又例如:求代数式
的最小值:∵
,
又∵
;
∴当
时,
有最小值,最小值是
.
根据阅读材料,利用“配方法”,解决下列问题:
(1)分解因式:
_______.
(2)已知实数
,
满足
,求
的值;
(3)当
______、
______时,多项式
的最大值______.
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ea873dd83b01dcdd9071a19d8899fce5.png)
例如:分解因式:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5feb619a37bf688ed538181664cdfb42.png)
又例如:求代数式
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/66a0e6a1abebd0e654515ae5872c2454.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a37bb0af6efd21cf43703c45fe35f231.png)
又∵
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4c9618079205238a51647d08204a11a2.png)
∴当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ef00713e73b8357cc7900144f5505bc6.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/66a0e6a1abebd0e654515ae5872c2454.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6b9a5f1362c12e1ea8f6fc0d9d787ac.png)
根据阅读材料,利用“配方法”,解决下列问题:
(1)分解因式:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e2d198d8e3c906163e86e8d48a359d93.png)
(2)已知实数
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0a6936d370d6a238a608ca56f87198de.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2c94bb12cee76221e13f9ef955b0aab1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6c1e809cfb9cc0774c90271a16b0f949.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0b0113fd4c7d157757571f9a009e02af.png)
(3)当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4ec0618ae3a4fde6d6220010af229b9a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/070d1ea22a92808dad7489438c239629.png)
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