1 . 如图，矩形的四个顶点都在的边上，于点D，交于点N．

(1)求证：；
(2)若，，设的长度为x，矩形的面积为y，则矩形的面积是否有最大值？如果有，请求出矩形面积的最大值：如果没有，请说明理由．

2 . 如图①是杭州亚运会的徽标中的钱江潮头，可近似地看成是顶点在y轴上的二次函数，如图②所示，已知，．当潮头以2个单位每秒的速度向x轴正方向移动的过程中，若记潮头起始位置所在的二次函数图象与坐标轴三个交点围成的面积为，则经过______秒后，潮头所在的抛物线与坐标轴的三个交点围成的面积恰好为面积的一半．

3 . 如图，矩形为大同古城管理部门计划在古城东南邑围建的一个小型表演场地，其中两边靠墙（墙足够长），另外两边用长为的隔离带（虚线部分）围成，求所围成矩形的最大面积．

4 . 如图1，有一堵长为50米的墙MN，某工程队想借助这堵墙用铁皮栅栏围成一个长方形场地，中间再用铁皮栅栏分割形成两个长方形，现有总长为120米的铁皮栅栏（厚度不计）可供使用，设米．

(1)长为______米，长方形的面积为______平方米．（用含的代数式表示）
(2)若围成的长方形场地的面积为1125平方米，求的长；
(3)若小明想在边上用其他材料做两个门，每个门的宽均为1.5米．问能否使长方形的面积为1290平方米？如果能行，请求出的长；如果不能，请说明理由．
(4)如果墙足够长，求的长为多少时可使小明设计的长方形场地面积最大？

5 . 某加工厂要加工一种抛物线型钢材构件，如图所示，该抛物线型构件的底部宽度米，顶点到底部的距离为米．将该抛物线放入平面直角坐标系中，点在轴上．其内部支架有两个符合要求的设计方案：
   
方案一：“川”字形内部支架（由线段构成），点在上，且，点在抛物线上，均垂直于；
方案二：“”形内部支架（由线段，，构成），点，在上，且，点，在抛物线上，，均垂直于分别是，的中点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)该加工厂要用某一规格的钢材来加工这种构件，那么哪一个方案的内部支架节省材料？请说明理由．

6 . 如图，某学校开展劳动实践活动，在校园一角设计了一块蔬菜种植园地，现要用的篱笆围成一个矩形园地，其中一面靠墙(墙长)，设该矩形蔬菜种植园地垂直于墙的一边长为，矩形蔬菜种植园地的面积为．
   
(1)求出与的函数解析式．
(2)当矩形蔬菜种植园地的面积为时，求的值．

7 . 根据以下素材，完成项目式探索任务：
问题的提出
根据以下提供的素材，在总费用（新墙的建筑费用与门的价格和）不高于6400元的情况下，如何设计最大饲养室面积的方案？
素材1：如图是某农场拟建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙，中间用一道墙隔开，计划中建筑材料可建围墙的总长为米，开2个门，且门宽均为1米.
   
素材2：2个门要求同一型号，有关门的采购信息如表.

型号	A
规格（门宽）	1米	米	1米
单价（元）	250	280	300

素材3：与现有墙平行方向的墙建筑费用为400元/米，与现有墙垂直方向的墙建筑费用为200元/米.

任务1	确定饲养室的形状 设，矩形的面积为S，求S关于的函数表达式.
任务2	探究自变量的取值范围.
任务3	确定设计方案 我的设计方案是选型号        门，当      米，          米时，S有最大值，最大值为              平方米.

8 . 问题提出（1）当时，二次函数的最大值为______．
问题探究（2）已知二次函数是常数，的图象经过两点，平移该函数的图象，使其顶点始终在直线上，求平移后所得抛物线与轴交点的纵坐标的最大值．
问题解决（3）某养殖户利用一段围墙（围墙足够长）为一边，用总长为的围网围成了如图所示的三块矩形区域，且这三块矩形区域的面积相等．设的长度为，矩形区域的面积为，当为何值时，有最大值？最大值是多少？

9 . 如图，某养殖户用长的篱笆围成一个长方形养殖园，中间的两条篱笆隔离栏将这个长方形养殖园分割成三个较小的长方形，则围成养殖园的最大面积是______．

10 . 在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小星同学对会场进行装饰．如图1所示，他在会场的两墙、之间悬挂一条近似抛物线的彩带，如图2所示，已知墙与等高，且、之间的水平距离为8米．​

(1)如图2，两墙，的高度是 　　米，抛物线的顶点坐标为 　　；
(2)为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点到墙距离为3米，使抛物线的最低点距墙的距离为2米，离地面2米，求点到地面的距离；
(3)为了尽量避免人的头部接触到彩带，小星现将到地面的距离提升为3米，通过适当调整的位置，使抛物线对应的二次函数的二次项系数始终为，若设点距墙的距离为米，抛物线的最低点到地面的距离为米，探究与的关系式，当时，求的取值范围．