1 . 2022年教育部正式印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，《劳动》成为一门独立的课程. 某学校率先行动，在校园开辟了一块劳动教育基地，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养殖园（靠墙的一边不需用篱笆），墙长为16米.

(1)当围成的矩形养殖园面积为108平方米时，求养殖园的边的长；
(2)求矩形养殖园面积的最大值.

2 . 综合与实践：“如果一条直线将一个三角形的周长分成相等的两部分，那么这条直线就叫做这个三角形的等周线”．如图，在中，，，，点，分别在边和上，且直线是的等周线．

(1)的周长为________．
(2)若设，求的面积S与x的函数关系式．
(3)在（2）中，的面积是否有最大值？若有，求出此时的长；若没有，请说明理由．

3 . 如图，在矩形中，，，为中点，直角的直角顶点在边运动，始终过点，设．

(1)求证：；
(2)若与所在的直线有交点，该交点用表示，用含的代数式表是的长，并求出的最大值；
(3)求出当过点时的值；
(4)__________时，为等腰三角形．

4 . 如图，在中，点P在斜边上移动，，M，N分别为垂足，，则何时矩形的面积最大？最大面积是多少？

5 . 某水产养殖户用长的围网，恰好在水库中围出一块矩形的水面，用来投放鱼苗．
(1)若围成的矩形水面的面积是，则围成的矩形水面的长和宽各是多少？
(2)围网能围成的矩形水面吗？若能，请求出围成的矩形水面的长和宽；若不能，说明理由．
(3)设围成的矩形水面的一边长为，面积为，求出与的函数关系式．当满足什么条件时，随的增大而增大？

6 . （1）如图1，在正方形中，点、分别在边和上，于点，求证：；
（2）如图2，在矩形中，将矩形折叠，得到四边形，交于点，点落在边上的点处，折痕交边于，交边于，连接交于点；
①若，且，，求与的长；
②先阅读下面内容，再解决提出的问题：当时，我们可以利用配方法求出此时的取值范围．由题意可知，即，显然此时或，所以或．如图3，若，，请根据前述方法直接写出的最大值及此时的长．

7 . 如图，在平面直角坐标系中，抛物线；与x轴交于点A和C，与y轴交于点B．点P为直线上方抛物线上一动点，过点P作轴于点Q，交线段于点M，已知点，且．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求当M是中点时的P点坐标；
(3)作，垂足为N，连接，．
请从下列两个问题中任选一个问题完成．
问题①：求的最大值；问题②：求的面积最大值．
(4)连接，当x为何值时，四边形为平行四边形？四边形能为菱形吗？若能求出P点坐标；若不能，说明理由．

8 . 小明用长为铁丝均分后围成如图所示的模型，该模型由四个形状、大小完全一样的扇环组成，为圆心．

（1）若，A为的中点，则长为______ ；
（2）若使得模型的面积最大，则的值为______

9 . 用一段长为的50米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长25米．

(1)如图1，当菜园面积为300平方米时，求矩形菜园的长和宽．
(2)如图2，若菜园中间用一道篱笆隔开，这个菜园的长和宽各为多少时，面积最大，最大面积是多少?
(3)在（2）的条件下，农户准备种植A，B两种蔬菜，每平方米分别投入6元，8元．经计算，种植A种蔬菜每平方米可获利8元，种植B种蔬菜每平方米可获利12元，农户拿出1000元用来种植这两种蔬菜，设种植A种蔬菜x平方米，总获利y元．若要求A种蔬菜的种植面积不能少于B种蔬菜种植面积的2倍，当种植A种蔬菜多少平方米时，获得的利润最大?并求出最大利润．

10 . 如图①是我区的某蔬菜基地的种植棚，它一定意义上带动了我区的经济发展．其截面为图②所示的轴对称图形，点A、B在以点O为顶点的抛物线上，，点G在直线上，点E在直线上，，当以O为原点建立如图③所示的坐标系，抛物线过点．

(1)求抛物线的解析式．
(2)若点O到地面距离为5米，记，当p最大时，求棚的跨度长．
(3)在（2）的条件下，E点纵坐标为，，为了使该棚更加牢固，需要把直线向下平移到与抛物线相切的位置处焊接，求向下平移的距离．