1 . 在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．晓晓受此启发设计了一个“连杆机构”，设计图如图1所示，为一根固定长度的连杆，通过一端A在直线l上滑动，使得点B带动绕圆心O转动，当连杆恰好经过圆心O时，如图2所示，此时记与的另一个交点为C，过点B作交直线l于点D，发现恰好平分．

(1)求证：直线l与相切；
(2)若，，求的半径．

2 . 如图，在中，，为的平分线．

(1)尺规作图：过点作的垂线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
(2)在（1）的条件下，求证：．

3 . 如图，点是正方形的边延长线上一点，且，连接交于点，以点为圆心，为半径作交线段于点．

(1)求证：是的切线；
(2)若，求阴影部分的面积．

4 . 如图，已知，以为直径作交于点，连接，，作的平分线，交于点，交于点．

(1)求证：是的切线；
(2)求证：．

5 . 已知：如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴相交于点A、B，且与经过点的一次函数的图象相交于点D．点D的横坐标为4，直线与轴相交于点E．
   
(1)直线的函数表达式为：__________；（直接写出结果）
(2)点Q为线段上的一个动点，连接．
①若直线将的面积分为两部分，试求点Q的坐标；
②点Q是否存在某个位置，将沿着直线翻折，使得点D恰好落在直线下方的坐标轴上？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

6 . 已知：如图1，为直径，点在上，过点的切线与的延长线交于点，过作，垂足为．
   
(1)求证：平分；
(2)如图2，点在上，且，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点，若，，求的长．

7 . 如图1，是半圆的直径，，，为半圆上的两点，且．连结并延长，与的延长线相交于点．
   
(1)求证：；
(2)如图2，过点作，垂足为点．与分别交于点．
①若，求的面积；
②若是半圆上一动点（不与重合），当是等腰三角形时，求的值．

8 . 【问题引入】
古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦-秦九韶公式，如果一个三角形的三边长分别是，记，那么三角形的面积为：，在中，，，所对的边长分别为，若，，，则的面积为6；
【问题探索】
如图一，在中，设，，，，是的内切圆，分别与的延长线、的延长线以及线段均只有一个公共点，的半径为，的半径为．
   
(1)分析与证明：
如图二，连接，则被划分为三个小三角形，用表示的面积，即．那么是否成立？请证明你的结论．
(2)理解与应用：
当，，时，求的面积．