1 . 如图，在中，，于点，于点．交于点，点在直线上运动，，，，当取最小值时，的长为______．

2 . 已知和均为等腰直角三角形，，，点为的中点，已知为直线上的一个动点，连接，则的最小值为_____．

3 . 如图，长方形中，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，将绕着点顺时针旋转到的位置，连接和，则的最小值为____________________．
   

5 . 如图，在菱形中，对角线和相交于点，，，动点在边上运动，以点为圆心，为半径作，切于点，则在点运动过程中，切线的长的最大值为__________．
   

6 . 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为，若为线段上一动点，则的最小值是__________．

7 . 问题发现：
（1）如图①，正方形的边长为2，对角线、相交于点，是上一点（点不与、重合），将射线绕点逆时针旋转，所得射线与交于点，则四边形的面积为 　 　．
问题探究：
（2）如图②，线段，为上一点，在上方作四边形，使，且，连接，则的最小值为 　 　．
问题解读：
（3）“绿水青山就是金山银山”，某市在生态治理活动中新建了一处南山情物园，图③为青山植物园花卉展示区的部分平面示意图，在四边形中，，，米．其中、、为观赏小路，设计人员考虑到为分散人流和便于观赏，提出三条小路的长度和要取得最大，试求的最大值．
   

8 . 如图，正方形的边长为12，为边上一动点，在运动的过程中，始终保持于，于．若的长为整数，则的长可以为______．

   

10 . 问题探究：将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现，题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化．
问题提出：如图1，是边长为的等边三角形，为内部一点，连接、、，求的最小值．
问题解决：如图2，将绕点逆时针旋转至，连接、，记与交于点，易知，，由，，可知为等边三角形，有．故，因此，当、、、共线时，有最小值是______．
学以致用：如图3，是边长为的正方形内一点，为边上一点，连接、、，求的最小值．