1 . 【材料阅读】小明在学习完全等三角形后,为了进一步探究,他尝试用三种不同方式摆放一副三角板(在中,,;中,,),并提出了相应的问题
(1)【发现】如图1,将两个三角板互不重叠地摆放在一起,当顶点B摆放在线段上时,过点A作,垂足为点M,过点C作,垂足为点N,易证,若,,则______;
(2)【类比】如图2,将两个三角板叠放在一起,当顶点B在线段上且顶点A在线段上时,过点C作,垂足为点P,猜想,,的数量关系,并说明理由;
(3)【拓展】如图3,将两个三角板叠放在一起,当顶点A在线段上且顶点B在线段上时,若,,连接,则的面积为______.
(1)【发现】如图1,将两个三角板互不重叠地摆放在一起,当顶点B摆放在线段上时,过点A作,垂足为点M,过点C作,垂足为点N,易证,若,,则______;
(2)【类比】如图2,将两个三角板叠放在一起,当顶点B在线段上且顶点A在线段上时,过点C作,垂足为点P,猜想,,的数量关系,并说明理由;
(3)【拓展】如图3,将两个三角板叠放在一起,当顶点A在线段上且顶点B在线段上时,若,,连接,则的面积为______.
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2 . 已知,是等边三角形.
【性质探究】如图①,点P在内,将绕着点A顺时针旋转,使点C旋转到点B处,得到,连接,求证:是等边三角形.
【理解运用】如图②,点P在内,若,,,则______.
【类比拓展】如图③,点P在外,若,,,则的度数为______.
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2023-09-13更新
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118次组卷
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3卷引用:吉林省长春市德惠市第三中学2022-2023学年九年级下学期4月月考数学试题
吉林省长春市德惠市第三中学2022-2023学年九年级下学期4月月考数学试题(已下线)第02讲 图形的旋转(9类题型)-【帮课堂】2023-2024学年九年级数学上册同步学与练(浙教版)吉林省松原市前郭一中名校调研系列卷2023-2024学年九年级上学期第三次月考数学试题
3 . 综合与实践
综合与实践课上,老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.
(1)操作判断
操作一:对折矩形纸片,使与重合,得到折痕,把纸片展平;
操作二:在上选一点P,沿折叠,使点A落在矩形内部点M处,把纸片展平,连接,.
根据以上操作,当点M在上时,写出图1中一个的角: ;
(2)迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片,继续探究,过程如下:
将正方形纸片按照(1)中的方式操作,并延长交于点Q,连接.
①如图2,当点M在上时, °;
②改变点P在上的位置(点P不与点A,D重合),如图3,判断与的数量关系,并说明理由;
(3)拓展应用
在(2)的探究中,已知正方形纸片的边长为,当时,求的长.
综合与实践课上,老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.
(1)操作判断
操作一:对折矩形纸片,使与重合,得到折痕,把纸片展平;
操作二:在上选一点P,沿折叠,使点A落在矩形内部点M处,把纸片展平,连接,.
根据以上操作,当点M在上时,写出图1中一个的角: ;
(2)迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片,继续探究,过程如下:
将正方形纸片按照(1)中的方式操作,并延长交于点Q,连接.
①如图2,当点M在上时, °;
②改变点P在上的位置(点P不与点A,D重合),如图3,判断与的数量关系,并说明理由;
(3)拓展应用
在(2)的探究中,已知正方形纸片的边长为,当时,求的长.
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2023-05-09更新
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208次组卷
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2卷引用:山东省临沂市临沭县2022-2023学年八年级下学期期中数学试题
4 . 已知中,,,点D为直线BC上的一动点点D不与点B、C重合,以AD为边作,使,,连接CE.
发现问题:
如图1,当点D在边BC上时,
请写出BD和CE之间的位置关系为______,并猜想BC和CE、CD之间的数量关系:______.
尝试探究:
如图2,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时,中BD和CE之间的位置关系、BC和CE、CD之间的数量关系是否成立?若成立,请证明;若不成立,请写出新的数量关系,说明理由;
拓展延伸:
如图3,当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时,若,,求线段ED的长.
发现问题:
如图1,当点D在边BC上时,
请写出BD和CE之间的位置关系为______,并猜想BC和CE、CD之间的数量关系:______.
尝试探究:
如图2,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时,中BD和CE之间的位置关系、BC和CE、CD之间的数量关系是否成立?若成立,请证明;若不成立,请写出新的数量关系,说明理由;
拓展延伸:
如图3,当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时,若,,求线段ED的长.
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2019-04-12更新
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775次组卷
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10卷引用:【市级联考】河北省迁安市2018-2019学年八年级上学期期末考试数学试题
【市级联考】河北省迁安市2018-2019学年八年级上学期期末考试数学试题2020年山东省济南市平阴县九年级学业水平考试模拟试题2020年山东省济南市平阴县中考数学二模试题河北省唐山市迁安市2021-2022学年八年级上学期期中数学试题河北省承德市宽城县2022-2023学年八年级上学期期末考试数学试题2023山东省济南市长清区东城校际联合体中考二模数学试题(已下线)2023年山东省济南市长清区东城校际联合体中考二模数学试题变式题21-26题河南省鹤壁市淇县2022-2023学年八年级上学期期末考试数学试题河北省唐山市滦州市2022-2023学年八年级上学期期中数学试题(已下线)2023年济南二模(几何综合)
解题方法
5 . 已知∠ACD=60°,AC=DC,MN是过点A的直线,B、E两点在直线MN上,∠BCE=60°,CB=CE.
(1)问题发现:如图1,BD和EA之间的数量关系为 ,BD、AB、BE之间的数量关系为 ;
(2)拓展探究:当MN绕点A旋转到如图2位置时,BD、AB、BE之间满足怎样的数量关系?请写出你的猜想,并给予证明.
(3)解决问题:当MN绕点A分别旋转到如图2和如图3位置时,若当时∠CAN=50°,连接AD,则∠ADB的大小为 .
(1)问题发现:如图1,BD和EA之间的数量关系为 ,BD、AB、BE之间的数量关系为 ;
(2)拓展探究:当MN绕点A旋转到如图2位置时,BD、AB、BE之间满足怎样的数量关系?请写出你的猜想,并给予证明.
(3)解决问题:当MN绕点A分别旋转到如图2和如图3位置时,若当时∠CAN=50°,连接AD,则∠ADB的大小为 .
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2020-08-02更新
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620次组卷
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3卷引用:辽宁省沈阳市沈河区2019-2020学年七年级下学期期末数学试题
解题方法
6 . 探究题:如图1,和均为等边三角形,点在边上,连接.
(1)请你解答以下问题:
①求的度数;
②写出线段,,之间数量关系,并说明理由.
(2)拓展探究:如图2,和均为等腰直角三角形,,点在边上,连接.请判断的度数及线段,,之间的数量关系,并说明理由.
(3)解决问题:如图3,在四边形中,,,,与交于点.若恰好平分,请直接写出线段的长度.
(1)请你解答以下问题:
①求的度数;
②写出线段,,之间数量关系,并说明理由.
(2)拓展探究:如图2,和均为等腰直角三角形,,点在边上,连接.请判断的度数及线段,,之间的数量关系,并说明理由.
(3)解决问题:如图3,在四边形中,,,,与交于点.若恰好平分,请直接写出线段的长度.
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7 . 【问题情境】在△ABC中,BA=BC,∠ABC=α(0°<α<180°),点P为直线BC上一动点(不与点B、C重合),连接AP,将线段PA绕点P顺时针旋转得到线段PQ旋转角为α,连接CQ.
【特例分析】(1)当α=90°,点P在线段BC上时,过P作PF∥AC交直线AB于点F,如图①,易得图中与△APF全等的一个三角形是 ,∠ACQ= °.
【拓展探究】(2)当点P在BC延长线上,AB:AC=m:n时,如图②,试求线段BP与CQ的比值;
【问题解决】(3)当点P在直线BC上,α=60°,∠APB=30°,CP=4时,请直接写出线段CQ的长.
【特例分析】(1)当α=90°,点P在线段BC上时,过P作PF∥AC交直线AB于点F,如图①,易得图中与△APF全等的一个三角形是 ,∠ACQ= °.
【拓展探究】(2)当点P在BC延长线上,AB:AC=m:n时,如图②,试求线段BP与CQ的比值;
【问题解决】(3)当点P在直线BC上,α=60°,∠APB=30°,CP=4时,请直接写出线段CQ的长.
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8 . 问题情境:如图①,在直角三角形ABC中,∠BAC=90∘,AD⊥BC于点D,可知:∠BAD=∠C(不需要证明);
(1)特例探究:如图②,∠MAN=90∘,射线AE在这个角的内部,点B.C在∠MAN的边AM、AN上,且AB=AC,CF⊥AE于点F,BD⊥AE于点D.证明:△ABD≌△CAF;
(2)归纳证明:如图③,点B,C在∠MAN的边AM、AN上,点E,F在∠MAN内部的射线AD上,∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角.已知AB=AC,∠1=∠2=∠BAC.求证:△ABE≌△CAF;
(3)拓展应用:如图④,在△ABC中,AB=AC,AB>BC.点D在边BC上,CD=2BD,点E.F在线段AD上,∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面积为18,求△ACF与△BDE的面积之和是多少?
(1)特例探究:如图②,∠MAN=90∘,射线AE在这个角的内部,点B.C在∠MAN的边AM、AN上,且AB=AC,CF⊥AE于点F,BD⊥AE于点D.证明:△ABD≌△CAF;
(2)归纳证明:如图③,点B,C在∠MAN的边AM、AN上,点E,F在∠MAN内部的射线AD上,∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角.已知AB=AC,∠1=∠2=∠BAC.求证:△ABE≌△CAF;
(3)拓展应用:如图④,在△ABC中,AB=AC,AB>BC.点D在边BC上,CD=2BD,点E.F在线段AD上,∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面积为18,求△ACF与△BDE的面积之和是多少?
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2019-12-16更新
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497次组卷
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6卷引用:河北省邯郸市邯郸市育华中学2019-2020学年八年级上学期12月月考数学试题
河北省邯郸市邯郸市育华中学2019-2020学年八年级上学期12月月考数学试题四川省遂宁市安居区2019-2020学年八年级上学期期末数学试题湖南省长沙市雨花区2020-2021学年八年级上学期期末数学试题(已下线)第一次月考押题预测卷(考试范围:第十一、十二章)-2022-2023学年八年级数学上册重难题型全归纳及技巧提升专项精练(人教版)湖南省株洲市攸县2021-2022学年八年级上学期期末学业质量测试数学试题贵州省黔东南州教学资源共建共享联合学校2022-2023学年八年级上学期期末模拟数学试题
9 . 观察猜想:(1)如图①,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=3,点D与点A重合,点E在边BC上,连接DE,将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到线段DF,连接BF,BE与BF的位置关系是 ,BE+BF= ;
探究证明:(2)在(1)中,如果将点D沿AB方向移动,使AD=1,其余条件不变,如图②,判断BE与BF的位置关系,并求BE+BF的值,请写出你的理由或计算过程;
拓展延伸:(3)如图③,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=a,点D在边BA的延长线上,BD=n,连接DE,将线段DE绕着点D顺时针旋转,旋转角∠EDF=a,连接BF,则BE+BF的值是多少?请用含有n,a的式子直接写出结论.
探究证明:(2)在(1)中,如果将点D沿AB方向移动,使AD=1,其余条件不变,如图②,判断BE与BF的位置关系,并求BE+BF的值,请写出你的理由或计算过程;
拓展延伸:(3)如图③,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=a,点D在边BA的延长线上,BD=n,连接DE,将线段DE绕着点D顺时针旋转,旋转角∠EDF=a,连接BF,则BE+BF的值是多少?请用含有n,a的式子直接写出结论.
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2019-06-06更新
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328次组卷
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9卷引用:【校级联考】河南省周口市沈丘县2019届九年级第一次模拟数学试题
【校级联考】河南省周口市沈丘县2019届九年级第一次模拟数学试题河南省周口市商水县2019届九年级第一次模拟考试数学试题【省级联考】吉林省2019届九年级中考数学信息卷(已下线)专题12 击破类比、探究类综合题利器之全等知识-决胜2020年中考数学压轴题全揭秘精品(河南)(已下线)专题21 成都中考B27压轴题专版(决胜2020年中考压轴题全揭秘精品)四川专用2019年河南省周口市沈丘县中考数学一模试卷河南省舞钢市新时代国际学校2019-2020学年九年级下学期第二次月考数学试题2020年河南省周口市扶沟县中考数学一模试题(已下线)【万唯原创】2018年河南省中考数学红绿蓝-绿卷-2018年第22~23题题组训练
10 . (1)问题发现
如图1,△ABC和△DCE都是等边三角形,点B、D、E在同一直线上,连接AE.
填空:
①∠AEC的度数为 ;
②线段AE、BD之间的数量关系为 .
(2)拓展探究
如图2,△ABC和△DCE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点B、D、E在同一直线上,CM为△DCE中DE边上的高,连接AE.试求∠AEB的度数及判断线段CM、AE、BM之间的数量关系,并说明理由.
(3)解决问题
如图3,在正方形ABCD中,CD=2,点P在以AC为直径的半圆上,AP=1,①∠DPC= °; ②请直接写出点D到PC的距离为 .
如图1,△ABC和△DCE都是等边三角形,点B、D、E在同一直线上,连接AE.
填空:
①∠AEC的度数为 ;
②线段AE、BD之间的数量关系为 .
(2)拓展探究
如图2,△ABC和△DCE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点B、D、E在同一直线上,CM为△DCE中DE边上的高,连接AE.试求∠AEB的度数及判断线段CM、AE、BM之间的数量关系,并说明理由.
(3)解决问题
如图3,在正方形ABCD中,CD=2,点P在以AC为直径的半圆上,AP=1,①∠DPC= °; ②请直接写出点D到PC的距离为 .
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