1 . 初中几何学习一般路径为:线——三角形——四边形——多边形,线的学习依据位置关系又分为相交线、平行线.三角形、四边形的学习都是由一般到特殊,从一般三角形、四边形到特殊三角形、四边形,且研究了其特殊性质.学习过程中,同学们发现两个全等的特殊三角形即拼成一个特殊四边形.特殊三角形与特殊四边形之间有很多联系.因此在探究特殊四边形中一些线段之间关系时往往和特殊三角形结合起来.下面是数学翱翔社的同学在课后探究特殊三角形与特殊四边形一些重要线段之间关系的过程:
探究发现(1)等腰直角三角形与正方形中特殊线段之间的关系.
如图1,在中,,,点D在边的延长线上,以为边作正方形(与在边同侧),连接,点G为的中点,连接.发现,.
证明思路如下:
延长交于点H,连接.证明,点G为的中点,即可证明结论.
依据提供思路写出规范的推理过程.
类比猜想
(2)等边三角形与有一个角为的菱形中的特殊线段之间的关系.
如图2,在等边三角形中,点D在边的延长线上,以为边作菱形,(与在边同侧),连接,点G为的中点,连接.猜想的数量关系以及位置关系,并说明理由.
拓展延伸
(3)一般等腰三角形与有一个角和等腰三角形顶角度数相等的菱形中特殊线段之间的关系.
如图3,当为等腰三角形,,四边形为菱形,且时,其他条件不变,请直接写出的数量关系.
探究发现(1)等腰直角三角形与正方形中特殊线段之间的关系.
如图1,在中,,,点D在边的延长线上,以为边作正方形(与在边同侧),连接,点G为的中点,连接.发现,.
证明思路如下:
延长交于点H,连接.证明,点G为的中点,即可证明结论.
依据提供思路写出规范的推理过程.
类比猜想
(2)等边三角形与有一个角为的菱形中的特殊线段之间的关系.
如图2,在等边三角形中,点D在边的延长线上,以为边作菱形,(与在边同侧),连接,点G为的中点,连接.猜想的数量关系以及位置关系,并说明理由.
拓展延伸
(3)一般等腰三角形与有一个角和等腰三角形顶角度数相等的菱形中特殊线段之间的关系.
如图3,当为等腰三角形,,四边形为菱形,且时,其他条件不变,请直接写出的数量关系.
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2 . 【教材呈现】(1)如图1,在正方形中,是上的一点,经过旋转后得到,
①旋转中心是点______;旋转角最少是______度.
②爱动脑筋的小明,在边上取点,连接,使得,他发现:,他的发现正确吗?请你判断并说明理由.
【结论应用】
(2)①图1中,若正方形的边长为,则的周长为______(用含有的式子表示).
②如图2,在四边形中,,,,是的中点,且,则的长______.
【类比迁移】
(3)如图3,在菱形中,,在线段上选一点(不与点重合),沿折叠,得到,在线段上取点,沿折叠,使得点与点重合,连接,分别交线段于点,若,,求的长.
①旋转中心是点______;旋转角最少是______度.
②爱动脑筋的小明,在边上取点,连接,使得,他发现:,他的发现正确吗?请你判断并说明理由.
【结论应用】
(2)①图1中,若正方形的边长为,则的周长为______(用含有的式子表示).
②如图2,在四边形中,,,,是的中点,且,则的长______.
【类比迁移】
(3)如图3,在菱形中,,在线段上选一点(不与点重合),沿折叠,得到,在线段上取点,沿折叠,使得点与点重合,连接,分别交线段于点,若,,求的长.
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3 . 如图,在和中,,,,点在线段上,,交于点,连结.(1)求证:平分.
(2)若,求的值.
(2)若,求的值.
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91次组卷
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2卷引用:2024年 浙江省温州市浙师大协同体九年级下学期数学诊断试题
4 . 综合与实践
莹莹复习教材时,提前准备了一个等腰三角形纸片,如图,,.为了找到重心,以便像教材上那样稳稳用笔尖顶起,她先把点B与点C重叠对折,得折痕,展开后,她把点B与点A重叠对折,得折痕,再展开后连接,交折痕于点O,则点O就是的重心.教材重现:
(1)初步观察:连接,则与的数量关系是:________;
(2)初步探究:请帮助莹莹求出的面积;
(3)猜想验证:莹莹通过测量惊奇地发现,.她的发现正确吗?请说明理由.
莹莹复习教材时,提前准备了一个等腰三角形纸片,如图,,.为了找到重心,以便像教材上那样稳稳用笔尖顶起,她先把点B与点C重叠对折,得折痕,展开后,她把点B与点A重叠对折,得折痕,再展开后连接,交折痕于点O,则点O就是的重心.教材重现:
如图,用铅笔可以支起一张均匀的三角形卡片.你知道怎样确定这个点的位置吗?在三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段,叫做这个三角形的中线(median)如图,是的边上的中线. |
(2)初步探究:请帮助莹莹求出的面积;
(3)猜想验证:莹莹通过测量惊奇地发现,.她的发现正确吗?请说明理由.
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名校
5 . 如图1,在正方形中,,O是边的中点,E是正方形内一动点,且,连接,将线段绕点D逆时针旋转得,连接.
(2)求 的面积的最小值;
(3)如图2,若A,E,O三点共线,求点 F到直线的距离.
(2)求 的面积的最小值;
(3)如图2,若A,E,O三点共线,求点 F到直线的距离.
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6 . 如图,矩形中,是边上一动点,连接,把线段绕点顺时针旋转得到线段.
(2)在点从点向点运动的过程中,猜想点所走过的路程与的长有什么关系?请说明理由.
(3)在点从点向点运动的过程中,当取得最小值时停止,求点所走过的路程长.
(2)在点从点向点运动的过程中,猜想点所走过的路程与的长有什么关系?请说明理由.
(3)在点从点向点运动的过程中,当取得最小值时停止,求点所走过的路程长.
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7 . 如图,在菱形中,,点分别是边和对角线上的动点,且,连接相交于点M,点P是边上的一个动点,连接,则的最小值是_______ .
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8 . 如图,E,F分别是正方形的边,上的点,连接,,,,则下列结论中一定成立的是( ).
A. | B. |
C. | D. |
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9 . 图,已知正方形的边长为5,点是对角线上的一点,于点,于点,连接,当时,则的长度是( )
A. | B.3 | C. | D. |
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74次组卷
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2卷引用: 2024年山东省德州市夏津县中考二模数学试题
名校
10 . 在中,,,点D为平面内一点.(1)如图1,若点D在线段上,且,求;
(2)如图2,若点D为内部一点,且,连接,点E为的中点,连接,用等式表示线段,,的数量关系,并证明:
(3)若点D满足,当时,请直接写出的最值.
(2)如图2,若点D为内部一点,且,连接,点E为的中点,连接,用等式表示线段,,的数量关系,并证明:
(3)若点D满足,当时,请直接写出的最值.
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